a) Encontre a equação do plano tangente à superfície no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por no ponto . O conteúdo aqui envolve geometria analítica no espaço e cálculo vetorial, especialmente o conceito de planos tangentes e gradientes. Vamos precisar usar derivadas parciais para achar o gradiente da função e, a partir daí, montar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Em termos simples, o plano tangente a uma superfície em um ponto é o “melhor ajuste” de plano que toca a superfície exatamente nesse ponto e segue a inclinação da superfície ali. Para encontrar esse plano, usamos o gradiente da função que define a superfície.

Passo 3

O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é perpendicular à superfície no ponto considerado. Matemáticamente, o gradiente é dado por:
Então, vamos calcular as derivadas parciais de :
Portanto, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Este vetor será o vetor normal ao plano tangente.

Passo 5

Com o vetor normal e o ponto , podemos usar a equação do plano na forma ponto-normal:
Onde é um ponto genérico no plano e é o ponto dado. Expandindo o produto escalar:

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
Sabendo que :
Simplificando:
Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar ainda mais:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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Use derivação implícita para calcular : .
Considere .
c) O que acontece com e com a curva de nível que passa por ?
Considere as seguintes funções definidas implícitamente. Use derivação implícita para calcular a derivada nos pontos indicados: , no ponto . [Resp: .
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