a) Encontre a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por
no ponto
. O conteúdo aqui envolve geometria analítica no espaço e cálculo vetorial, especialmente o conceito de planos tangentes e gradientes. Vamos precisar usar derivadas parciais para achar o gradiente da função e, a partir daí, montar a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Em termos simples, o plano tangente a uma superfície em um ponto é o “melhor ajuste” de plano que toca a superfície exatamente nesse ponto e segue a inclinação da superfície ali. Para encontrar esse plano, usamos o gradiente da função que define a superfície.
Passo 3
O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é perpendicular à superfície no ponto considerado. Matemáticamente, o gradiente é dado por:
Então, vamos calcular as derivadas parciais de
:
Portanto, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Este vetor será o vetor normal ao plano tangente.
Passo 5
Com o vetor normal
e o ponto
, podemos usar a equação do plano na forma ponto-normal:
Onde
é um ponto genérico no plano e
é o ponto dado. Expandindo o produto escalar:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Sabendo que
:
Simplificando:
Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar ainda mais:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície
no ponto
é: