Considere as seguintes funções y(x) definidas implícitamente. Use derivação implícita para calcular a derivada nos pontos indicados: y^2 = x^2 + sen(xy), no ponto p = (pi, 0). [Resp: y' (x) = (2 x + y cos(x y)) / (2 y - x cos(x y)) ; y'(pi) = -2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de forma implícita pela equação . O objetivo é encontrar a derivada de em relação a no ponto . Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para diferenciar equações onde está misturado com .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que quando diferenciamos termos com , precisamos multiplicar pela derivada de em relação a , que chamamos de .

Passo 3

Vamos diferenciar cada parte:
  • Para , usamos a regra da cadeia: .
  • Para , simplesmente aplicamos a regra do poder: .
  • Para , usamos a regra da cadeia e do produto:
Então, a equação diferenciada fica:

Passo 4

Agora, vamos isolar . Primeiro, distribua o :
Em seguida, traga todos os termos com para um lado:
Fatorando :

Passo 5

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A derivada é . No ponto , temos .

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