Considere as seguintes funções
definidas implícitamente. Use derivação implícita para calcular a derivada nos pontos indicados:
, no ponto
. [Resp:
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de forma implícita pela equação
. O objetivo é encontrar a derivada de
em relação a
no ponto
. Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para diferenciar equações onde
está misturado com
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que quando diferenciamos termos com
, precisamos multiplicar pela derivada de
em relação a
, que chamamos de
.
Passo 3
Vamos diferenciar cada parte:
- Para
, usamos a regra da cadeia: . - Para
, simplesmente aplicamos a regra do poder: . - Para
, usamos a regra da cadeia e do produto:
Então, a equação diferenciada fica:
Passo 4
Agora, vamos isolar
. Primeiro, distribua o
:
Em seguida, traga todos os termos com
para um lado:
Fatorando
:
Passo 5
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A derivada é
. No ponto
, temos
.
Exercícios relacionados
a) Encontre a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Use derivação implícita para calcular
:
.
Aplique, se possível, o teorema de Rolle para a função
, em
; em caso afirmativo encontre o ponto que zera a derivada.
Determine F(s) pela Translação Inversa.