Determine F(s) pela Translação Inversa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace de
usando a propriedade de translação inversa. Isso envolve entender como certas funções se comportam na transformada de Laplace e aplicar algumas propriedades básicas para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na parte
. Sabemos que a transformada inversa de uma fração desse tipo pode ser encontrada utilizando a técnica de frações parciais. Então, vamos decompor essa fração para facilitar a inversão.
Passo 3
Vamos decompor
em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Para encontrar os valores de
e
, basta escolher valores de
que simplifiquem a equação. Se
:
Se
:
Então, a decomposição fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a transformada inversa de cada termo separado:
Portanto:
Passo 5
Agora, voltando ao nosso problema original, temos
. A presença de
na transformada de Laplace indica que a função no tempo será deslocada, de acordo com a propriedade de translação:
Onde
é a função degrau de Heaviside que “liga” a função a partir de
. No nosso caso,
. Então: