Sendo f differentiável em R^2, qual o significado geométrico para o fato de nabla f(x, y) = 0.
a) em um ponto;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para entender o que significa geometricamente o fato de que o gradiente de uma função f, ou seja, nabla f(x, y), ser igual a zero em um ponto. Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais e gradientes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é o gradiente e qual a sua interpretação geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. Para uma função f que depende de duas variáveis, x e y, o gradiente nabla f(x, y) é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Matemáticamente, ele é dado por:

Passo 3

Agora, quando dizemos que , isso significa que todas as derivadas parciais da função são zero no ponto considerado. Ou seja:

Passo 4

Geometricamente, quando o gradiente é zero em um ponto, isso indica que naquele ponto a função não está aumentando nem diminuindo em nenhuma direção. �� como se fosse um “ponto chato” na superfície representada por f(x, y).

Passo 5

Esses pontos onde o gradiente é zero são chamados de pontos críticos. Eles podem ser pontos de máximo local, mínimo local ou pontos de sela (onde a função muda de concavidade).

Resposta

Geometricamente, se em um ponto, esse ponto é um ponto crítico da função f, ou seja, é um ponto onde a superfície de f tem uma tangente horizontal, indicando um possível máximo, mínimo ou ponto de sela.

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