Sendo
differentiável em
, qual o significado geométrico para o fato de
.
a) em um ponto;
a) em um ponto;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para entender o que significa geometricamente o fato de que o gradiente de uma função
, ou seja,
, ser igual a zero em um ponto. Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais e gradientes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que é o gradiente e qual a sua interpretação geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. Para uma função
que depende de duas variáveis,
e
, o gradiente
é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Matemáticamente, ele é dado por:
Passo 3
Agora, quando dizemos que
, isso significa que todas as derivadas parciais da função são zero no ponto considerado. Ou seja:
Passo 4
Geometricamente, quando o gradiente é zero em um ponto, isso indica que naquele ponto a função não está aumentando nem diminuindo em nenhuma direção. �� como se fosse um “ponto chato” na superfície representada por
.
Passo 5
Esses pontos onde o gradiente é zero são chamados de pontos críticos. Eles podem ser pontos de máximo local, mínimo local ou pontos de sela (onde a função muda de concavidade).
Resposta
Geometricamente, se
em um ponto, esse ponto é um ponto crítico da função
, ou seja, é um ponto onde a superfície de
tem uma tangente horizontal, indicando um possível máximo, mínimo ou ponto de sela.