Aplique, se possível, o teorema de Rolle para a função f(x) = raiz cúbica((x - 2)^2) em [0,2]; em caso afirmativo encontre o ponto que zera a derivada.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se o Teorema de Rolle pode ser aplicado na função no intervalo . Para isso, vamos precisar entender sobre continuidade, diferenciabilidade e as condições do Teorema de Rolle.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no intervalo . A função é uma combinação de funções polinomiais e radicais, que são contínuas em todo o seu domínio. Portanto, é contínua em .

Passo 3

Em seguida, vamos verificar se a função é diferenciável no intervalo aberto . A derivada de é:
A derivada existe para todos os em , exceto em , que está fora do intervalo aberto. Portanto, é diferenciável em .

Passo 4

Agora, precisamos verificar se os valores da função nos extremos do intervalo são iguais, ou seja, se .
Calculando:
Como , as condições do Teorema de Rolle não são totalmente satisfeitas.

Resposta

O Teorema de Rolle não pode ser aplicado no intervalo porque .

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