Calcule onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada parcial de uma função em relação a , denotada por . O conteúdo envolvido aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar regras de derivação como a regra da cadeia e a derivada de funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função que precisamos derivar:

Passo 3

Nossa missão é encontrar , ou seja, a derivada parcial de em relação a no ponto . Vamos derivar cada termo da função separadamente.

Passo 4

Vamos começar com o primeiro termo: .
Para derivar isso em relação a , usamos a regra da cadeia. Vamos considerar:
A derivada parcial de em relação a é bem complexa, mas observe que quando :
E a derivada de uma constante é zero. Então, no ponto , esta parte da derivada será zero.

Passo 5

Agora, vamos para o segundo termo:
Queremos derivar em relação a . Aqui, usamos a regra do produto, já que temos uma função multiplicando outra.

Passo 6

Derivando em relação a :
Agora, vamos derivar cada parte dentro do colchete:
  • (pois não depende de )
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Agora, vamos avaliar no ponto :
Primeiro, lembrando que a derivada do primeiro termo é zero, focamos no segundo termo:
Simplificando:
  • Mesmo que o que está dentro dos colchetes seja algum número, multiplicar por zero anula tudo.

Resposta

Portanto, .

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