Calcule
onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada parcial de uma função
em relação a
, denotada por
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar regras de derivação como a regra da cadeia e a derivada de funções trigonométricas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função que precisamos derivar:
Passo 3
Nossa missão é encontrar
, ou seja, a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. Vamos derivar cada termo da função separadamente.
Passo 4
Vamos começar com o primeiro termo:
.
Para derivar isso em relação a
, usamos a regra da cadeia. Vamos considerar:
A derivada parcial de
em relação a
é bem complexa, mas observe que quando
:
E a derivada de uma constante é zero. Então, no ponto
, esta parte da derivada será zero.
Passo 5
Agora, vamos para o segundo termo:
Queremos derivar
em relação a
. Aqui, usamos a regra do produto, já que temos uma função multiplicando outra.
Passo 6
Derivando
em relação a
:
Agora, vamos derivar cada parte dentro do colchete:
-
(pois não depende de ) -
-
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Agora, vamos avaliar
no ponto
:
Primeiro, lembrando que a derivada do primeiro termo é zero, focamos no segundo termo:
Simplificando:
-
- Mesmo que o que está dentro dos colchetes seja algum número, multiplicar por zero anula tudo.
Resposta
Portanto,
.
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:
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no ponto
.