A função f(x) = { x, se 0 <= x < 1; 0, se x = 1 } é zero quando x = 0 e x = 1 e é derivável no intervalo 0,1, mas sua derivada nesse intervalo nunca é zero. O Teorema do Valor Médio não garante que f'(c)=(f(1)-f(0))/(1-0)=0, para algum c em (0,1) ?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida de duas formas:
  • para
  • para
Sabemos que essa função é igual a zero quando e , e que ela tem uma derivada no intervalo , mas essa derivada nunca é zero dentro desse intervalo. A pergunta é: o Teorema do Valor Médio garante que existe algum ponto em tal que ? Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema do Valor Médio (TVM). O TVM afirma que se uma função é contínua no intervalo fechado e derivável no intervalo aberto , então existe pelo menos um ponto em tal que:
Ou seja, a derivada nesse ponto é igual à inclinação da reta secante que liga os pontos e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função atende às condições do TVM no intervalo . Precisamos verificar se é contínua nesse intervalo e se é derivável no intervalo aberto .

Passo 4

Analisando a continuidade de em :
  • Para , , que é uma função contínua.
  • Em , , mas o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda é .
Como o limite à esquerda em é diferente do valor de , a função não é contínua em .

Passo 5

Já que não é contínua em todo o intervalo fechado , o Teorema do Valor Médio não pode ser aplicado. O TVM exige que a função seja contínua em todo o intervalo fechado e derivável no intervalo aberto. Como uma das condições não é satisfeita, não podemos garantir a existência de um ponto tal que .

Resposta

Não, o Teorema do Valor Médio não garante que exista um tal que .

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