A função
é zero quando
e
e é derivável no intervalo
, mas sua derivada nesse intervalo nunca é zero. O Teorema do Valor Médio não garante que
, para algum
?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida de duas formas:
-
para -
para
Sabemos que essa função é igual a zero quando
e
, e que ela tem uma derivada no intervalo
, mas essa derivada nunca é zero dentro desse intervalo. A pergunta é: o Teorema do Valor Médio garante que existe algum ponto
em
tal que
? Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que diz o Teorema do Valor Médio (TVM). O TVM afirma que se uma função
é contínua no intervalo fechado
e derivável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um ponto
em
tal que:
Ou seja, a derivada nesse ponto é igual à inclinação da reta secante que liga os pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função
atende às condições do TVM no intervalo
. Precisamos verificar se
é contínua nesse intervalo e se é derivável no intervalo aberto
.
Passo 4
Analisando a continuidade de
em
:
- Para
, , que é uma função contínua. - Em
, , mas o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda é .
Como o limite à esquerda em
é diferente do valor de
, a função
não é contínua em
.
Passo 5
Já que
não é contínua em todo o intervalo fechado
, o Teorema do Valor Médio não pode ser aplicado. O TVM exige que a função seja contínua em todo o intervalo fechado e derivável no intervalo aberto. Como uma das condições não é satisfeita, não podemos garantir a existência de um ponto
tal que
.
Resposta
Não, o Teorema do Valor Médio não garante que exista um
tal que
.
Exercícios relacionados
Considere as seguintes funções
definidas implícitamente. Use derivação implícita para calcular a derivada nos pontos indicados.
(a) , no ponto
. [ Resp:
.
(a)
Use derivação implícita para calcular
:
.
Determine F(s) pela Translação Inversa.
Aplique, se possível, o teorema de Rolle para a função
em
; em caso afirmativo encontre o ponto que zera a derivada.