Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da seção anterior.
Determine as dimensões de uma caixa retangular de volume máximo tal que a soma dos comprimentos de suas 12 arestas seja um constante
.
Determine as dimensões de uma caixa retangular de volume máximo tal que a soma dos comprimentos de suas 12 arestas seja um constante
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que encontrar as dimensões de uma caixa retangular que tem o volume máximo, dado que a soma dos comprimentos das suas 12 arestas é uma constante
. Para isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, uma técnica da matemática que ajuda a otimizar funções sujeitas a restrições. No nosso caso, queremos maximizar o volume da caixa com uma condição sobre as arestas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar as dimensões da caixa de
,
e
. O volume
da caixa é dado por:
A restrição que temos é sobre a soma das arestas. Uma caixa retangular tem 12 arestas: 4 de cada dimensão. Então, a soma das arestas é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar os multiplicadores de Lagrange. Essa técnica envolve criar uma nova função, chamada de função Lagrangiana, que combina a função que queremos otimizar e a restrição. A função Lagrangiana
fica assim:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, derivamos a função Lagrangiana em relação a cada variável e igualamos a zero:
E também temos a restrição:
Passo 5
Vamos resolver as equações (1), (2) e (3). Observamos que:
Isso sugere que
. Vamos chamar cada dimensão de
, então:
Passo 6
Substituindo
na restrição (4):
Então, cada dimensão da caixa é
.
Passo 7
Agora, vamos calcular o volume máximo usando
:
Resposta
As dimensões que maximizam o volume são
e o volume máximo é
.
Exercícios relacionados
Aplique, se possível, o teorema de Rolle para a função
em
; em caso afirmativo encontre o ponto que zera a derivada.
Determine F(s) pela Translação Inversa.
Calcule
onde
Calcule a transformada de Laplace pela definição
: