Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da seção anterior.
Determine as dimensões de uma caixa retangular de volume máximo tal que a soma dos comprimentos de suas 12 arestas seja um constante .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que encontrar as dimensões de uma caixa retangular que tem o volume máximo, dado que a soma dos comprimentos das suas 12 arestas é uma constante . Para isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, uma técnica da matemática que ajuda a otimizar funções sujeitas a restrições. No nosso caso, queremos maximizar o volume da caixa com uma condição sobre as arestas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar as dimensões da caixa de , e . O volume da caixa é dado por:
A restrição que temos é sobre a soma das arestas. Uma caixa retangular tem 12 arestas: 4 de cada dimensão. Então, a soma das arestas é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar os multiplicadores de Lagrange. Essa técnica envolve criar uma nova função, chamada de função Lagrangiana, que combina a função que queremos otimizar e a restrição. A função Lagrangiana fica assim:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange.

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, derivamos a função Lagrangiana em relação a cada variável e igualamos a zero:
E também temos a restrição:

Passo 5

Vamos resolver as equações (1), (2) e (3). Observamos que:
Isso sugere que . Vamos chamar cada dimensão de , então:

Passo 6

Substituindo na restrição (4):
Então, cada dimensão da caixa é .

Passo 7

Agora, vamos calcular o volume máximo usando :
á

Resposta

As dimensões que maximizam o volume são e o volume máximo é .

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