Aplique, se possível, o teorema de Rolle para a função , em ; em caso afirmativo encontre o ponto que zera a derivada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para aplicar o teorema de Rolle na função no intervalo . O teorema de Rolle faz parte do conteúdo de cálculo diferencial e nos ajuda a garantir que existe pelo menos um ponto onde a derivada da função é zero, sob certas condições. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a função satisfaz as condições do teorema de Rolle e, se sim, encontrar o ponto onde a derivada é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teorema de Rolle. Ele afirma que se uma função é contínua no intervalo fechado , diferenciável no intervalo aberto , e se , então existe pelo menos um ponto em onde a derivada . Ou seja, sob essas condições, a função tem um ponto onde a inclinação da tangente é horizontal.
Passo 3
Vamos verificar se a função é contínua no intervalo . Sabemos que a função seno é contínua em todo o seu domínio, e o quadrado de uma função contínua também é contínuo. Portanto, é contínua em .
Passo 4
Agora, vamos verificar se é diferenciável no intervalo aberto . A função seno é diferenciável em todo o seu domínio, e novamente, o quadrado de uma função diferenciável também é diferenciável. Assim, é diferenciável em .
Passo 5
O próximo passo é verificar se , ou seja, se os valores da função nos extremos do intervalo são iguais. Vamos calcular:
Como , a condição é satisfeita.
Passo 6
Como todas as condições do teorema de Rolle são atendidas, podemos concluir que existe pelo menos um ponto em onde a derivada . Vamos encontrar esse ponto.
Primeiro, calculamos a derivada de :
Agora, queremos encontrar tal que :
Isso ocorre quando , onde é um número inteiro. Dentro do intervalo , a solução que satisfaz essa equação é:
Resposta
Aplicando o teorema de Rolle, o ponto onde a derivada de é zero no intervalo é .
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Calcule o limite, se existir:
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