Aplique, se possível, o teorema de Rolle para a função , em ; em caso afirmativo encontre o ponto que zera a derivada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para aplicar o teorema de Rolle na função no intervalo . O teorema de Rolle faz parte do conteúdo de cálculo diferencial e nos ajuda a garantir que existe pelo menos um ponto onde a derivada da função é zero, sob certas condições. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a função satisfaz as condições do teorema de Rolle e, se sim, encontrar o ponto onde a derivada é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teorema de Rolle. Ele afirma que se uma função é contínua no intervalo fechado , diferenciável no intervalo aberto , e se , então existe pelo menos um ponto em onde a derivada . Ou seja, sob essas condições, a função tem um ponto onde a inclinação da tangente é horizontal.

Passo 3

Vamos verificar se a função é contínua no intervalo . Sabemos que a função seno é contínua em todo o seu domínio, e o quadrado de uma função contínua também é contínuo. Portanto, é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos verificar se é diferenciável no intervalo aberto . A função seno é diferenciável em todo o seu domínio, e novamente, o quadrado de uma função diferenciável também é diferenciável. Assim, é diferenciável em .

Passo 5

O próximo passo é verificar se , ou seja, se os valores da função nos extremos do intervalo são iguais. Vamos calcular: Como , a condição é satisfeita.

Passo 6

Como todas as condições do teorema de Rolle são atendidas, podemos concluir que existe pelo menos um ponto em onde a derivada . Vamos encontrar esse ponto. Primeiro, calculamos a derivada de : Agora, queremos encontrar tal que : Isso ocorre quando , onde é um número inteiro. Dentro do intervalo , a solução que satisfaz essa equação é:

Resposta

Aplicando o teorema de Rolle, o ponto onde a derivada de é zero no intervalo é .

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