Aplique, se possível, o teorema de Rolle para a função
, em
; em caso afirmativo encontre o ponto que zera a derivada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para aplicar o teorema de Rolle na função
no intervalo
. O teorema de Rolle faz parte do conteúdo de cálculo diferencial e nos ajuda a garantir que existe pelo menos um ponto onde a derivada da função é zero, sob certas condições. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a função satisfaz as condições do teorema de Rolle e, se sim, encontrar o ponto onde a derivada é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teorema de Rolle. Ele afirma que se uma função
é contínua no intervalo fechado
, diferenciável no intervalo aberto
, e se
, então existe pelo menos um ponto
em
onde a derivada
. Ou seja, sob essas condições, a função tem um ponto onde a inclinação da tangente é horizontal.
Passo 3
Vamos verificar se a função
é contínua no intervalo
. Sabemos que a função seno é contínua em todo o seu domínio, e o quadrado de uma função contínua também é contínuo. Portanto,
é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é diferenciável no intervalo aberto
. A função seno é diferenciável em todo o seu domínio, e novamente, o quadrado de uma função diferenciável também é diferenciável. Assim,
é diferenciável em
.
Passo 5
O próximo passo é verificar se
, ou seja, se os valores da função nos extremos do intervalo são iguais. Vamos calcular:
Como
, a condição
é satisfeita.
Passo 6
Como todas as condições do teorema de Rolle são atendidas, podemos concluir que existe pelo menos um ponto
em
onde a derivada
. Vamos encontrar esse ponto.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Agora, queremos encontrar
tal que
:
Isso ocorre quando
, onde
é um número inteiro. Dentro do intervalo
, a solução que satisfaz essa equação é:
Resposta
Aplicando o teorema de Rolle, o ponto onde a derivada de
é zero no intervalo
é
.