Se a temperatura, em um ponto
de uma bola sólida de raio 3 centrada em (
), é dada por
. Ache a direção, a partir de
, na qual a temperatura cresce mais rapidamente.
Passo 1
Então, a gente tem uma bola sólida de raio 3 centrada na origem, e a temperatura em qualquer ponto
dessa bola é dada por
. O exercício quer que a gente descubra em que direção, a partir do ponto
, a temperatura aumenta mais rápido. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente, que nos mostra a direção de maior crescimento de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Então, vamos encontrar
,
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente de
é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Esse vetor
aponta na direção onde a temperatura aumenta mais rápido.
Passo 5
Para encontrar apenas a direção, a gente normaliza o vetor gradiente, ou seja, divide cada componente pelo comprimento do vetor. O comprimento de
é:
Então, a direção é:
Resposta
A direção na qual a temperatura cresce mais rapidamente a partir de
é
.
Exercícios relacionados
Aplique, se possível, o teorema de Rolle para a função
, em
; em caso afirmativo encontre o ponto que zera a derivada.
Calcule os pontos extremos de
.
Calcule o limite, se existir:
j)
j)
Se
, calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção da curva definida por
em
para
crescendo.