Se a temperatura, em um ponto (x, y, z) de uma bola sólida de raio 3 centrada em ( 0,0,0 ), é dada por T(x, y, z) = y*z + z*x + x*y. Ache a direção, a partir de (1, 1, 2), na qual a temperatura cresce mais rapidamente.

Passo 1

Então, a gente tem uma bola sólida de raio 3 centrada na origem, e a temperatura em qualquer ponto dessa bola é dada por . O exercício quer que a gente descubra em que direção, a partir do ponto , a temperatura aumenta mais rápido. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente, que nos mostra a direção de maior crescimento de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Então, vamos encontrar , e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Esse vetor aponta na direção onde a temperatura aumenta mais rápido.

Passo 5

Para encontrar apenas a direção, a gente normaliza o vetor gradiente, ou seja, divide cada componente pelo comprimento do vetor. O comprimento de é:
Então, a direção é:

Resposta

A direção na qual a temperatura cresce mais rapidamente a partir de é .

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