Se a temperatura, em um ponto de uma bola sólida de raio 3 centrada em ( ), é dada por . Ache a direção, a partir de , na qual a temperatura cresce mais rapidamente.

Passo 1

Então, a gente tem uma bola sólida de raio 3 centrada na origem, e a temperatura em qualquer ponto dessa bola é dada por . O exercício quer que a gente descubra em que direção, a partir do ponto , a temperatura aumenta mais rápido. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente, que nos mostra a direção de maior crescimento de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Então, vamos encontrar , e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Esse vetor aponta na direção onde a temperatura aumenta mais rápido.

Passo 5

Para encontrar apenas a direção, a gente normaliza o vetor gradiente, ou seja, divide cada componente pelo comprimento do vetor. O comprimento de é:
Então, a direção é:

Resposta

A direção na qual a temperatura cresce mais rapidamente a partir de é .

Exercícios relacionados

Aplique, se possível, o teorema de Rolle para a função , em ; em caso afirmativo encontre o ponto que zera a derivada.
Calcule os pontos extremos de .
Calcule o limite, se existir:
j)
Se , calcule a derivada direcional de no ponto na direção da curva definida por em para crescendo.