Calcule o limite, se existir:
j) lim t 2 t^2+t-6t^2-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui estamos trabalhando com cálculo de limites, especificamente com funções racionais (frações onde o numerador e o denominador são polinômios). Para resolver, vamos precisar entender como manipular essas frações e simplificar expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 2^2 + 2 - 62^2 - 4 = 4 + 2 - 64 - 4 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a fração para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o polinômio do numerador e do denominador para ver se conseguimos cancelar algum termo.
Para o numerador t^2 + t - 6 = (t + 3)(t - 2) , procuramos dois números que multiplicados dão t^2 - 4 = (t + 2)(t - 2) e somados dão . Esses números são e :
Para o denominador , reconhecemos que é uma diferença de quadrados:

Passo 4

Agora, reescrevemos a fração com as expressões fatoradas:
(t + 3)(t - 2)(t + 2)(t - 2)
Perceba que t + 3t + 2 está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que , o que é válido já que estamos buscando o limite quando se aproxima de 2, mas não exatamente igual a 2):

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos substituir 2 + 32 + 2 = 54 diretamente:

Resposta

O limite é .

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