Calcule o limite, se existir:
j)
j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Aqui estamos trabalhando com cálculo de limites, especificamente com funções racionais (frações onde o numerador e o denominador são polinômios). Para resolver, vamos precisar entender como manipular essas frações e simplificar expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a fração para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos fatorar o polinômio do numerador e do denominador para ver se conseguimos cancelar algum termo.
Para o numerador
, procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
:
Para o denominador
, reconhecemos que é uma diferença de quadrados:
Passo 4
Agora, reescrevemos a fração com as expressões fatoradas:
Perceba que
está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que
, o que é válido já que estamos buscando o limite quando
se aproxima de 2, mas não exatamente igual a 2):
Passo 5
Agora que simplificamos a expressão, podemos substituir
diretamente:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Se a temperatura, em um ponto
de uma bola sólida de raio 3 centrada em (
), é dada por
. Ache a direção, a partir de
, na qual a temperatura cresce mais rapidamente.
Aplique, se possível, o teorema de Rolle para a função
, em
; em caso afirmativo encontre o ponto que zera a derivada.
Se
, calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção da curva definida por
em
para
crescendo.
Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização e a diferencial da função no ponto dado.
,