Uma chapa retangular
é determinada pelas retas
e
. A temperatura da chapa é
. Determinar o ponto mais quente e o ponto mais frio da chapa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma chapa retangular definida pelas retas
,
,
e
. A temperatura nessa chapa é dada pela função
. Nosso objetivo é encontrar o ponto mais quente e o ponto mais frio dessa chapa. Para isso, vamos usar cálculo para encontrar os pontos onde a temperatura atinge seus valores máximos e mínimos dentro da região definida.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função
. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 3
Agora, vamos resolver o sistema de equações onde essas derivadas parciais são iguais a zero:
Da equação (2), podemos fatorar
:
Isso nos dá duas possibilidades:
ou
.
Passo 4
Vamos analisar cada caso:
-
Se
:
Substituindo na equação (1):Então, temos o ponto. -
Se
:
Isso implica. Substituindo na equação (1): Novamente,leva a , então o único ponto crítico interno é .
Passo 5
Agora, precisamos analisar os limites da chapa, ou seja, as bordas onde
,
,
e
.
-
Para
: para todo . -
Para
: Essa é uma função quadrática em. Podemos encontrar seu mínimo: Então,Além disso, avaliamos nos extremose : -
-
Para
: para todo . -
Para
: Outra função quadrática, agora em. Encontramos o máximo: Então,
Passo 6
Agora, vamos comparar todos os valores encontrados:
- Ponto crítico interno
: - Bordas:
-
O maior valor de temperatura é
no ponto
e o menor valor é
no ponto
.
Resposta
O ponto mais quente da chapa está em
com temperatura
e o ponto mais frio está em
com temperatura
.
Exercícios relacionados
Seja
b) Mostre que não é diferenciável em
.
b) Mostre que
Considere as seguintes funções
definidas implícitamente. Use derivação implícita para calcular a derivada nos pontos indicados:
, no ponto
. [Resp:
.
Calcule os pontos extremos de
.
Aplique, se possível, o teorema de Rolle para a função
, em
; em caso afirmativo encontre o ponto que zera a derivada.