Uma chapa retangular é determinada pelas retas e . A temperatura da chapa é . Determinar o ponto mais quente e o ponto mais frio da chapa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma chapa retangular definida pelas retas , , e . A temperatura nessa chapa é dada pela função . Nosso objetivo é encontrar o ponto mais quente e o ponto mais frio dessa chapa. Para isso, vamos usar cálculo para encontrar os pontos onde a temperatura atinge seus valores máximos e mínimos dentro da região definida.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função . Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Então, vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 3

Agora, vamos resolver o sistema de equações onde essas derivadas parciais são iguais a zero:
Da equação (2), podemos fatorar :
Isso nos dá duas possibilidades: ou .

Passo 4

Vamos analisar cada caso:
  1. Se :
    Substituindo na equação (1):
    Então, temos o ponto .
  2. Se :
    Isso implica . Substituindo na equação (1):
    Novamente, leva a , então o único ponto crítico interno é .

Passo 5

Agora, precisamos analisar os limites da chapa, ou seja, as bordas onde , , e .
  1. Para :
    para todo .
  2. Para :
    Essa é uma função quadrática em . Podemos encontrar seu mínimo:
    Então,
    Além disso, avaliamos nos extremos e :
  3. Para :
    para todo .
  4. Para :
    Outra função quadrática, agora em . Encontramos o máximo:
    Então,

Passo 6

Agora, vamos comparar todos os valores encontrados:
  • Ponto crítico interno :
  • Bordas:
O maior valor de temperatura é no ponto e o menor valor é no ponto .

Resposta

O ponto mais quente da chapa está em com temperatura e o ponto mais frio está em com temperatura .

Exercícios relacionados

Seja
b) Mostre que não é diferenciável em .
Considere as seguintes funções definidas implícitamente. Use derivação implícita para calcular a derivada nos pontos indicados: , no ponto . [Resp: .
Calcule os pontos extremos de .
Aplique, se possível, o teorema de Rolle para a função , em ; em caso afirmativo encontre o ponto que zera a derivada.