Calcule os pontos extremos de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar os pontos extremos da função . Ponto extremo pode ser um máximo, mínimo ou um ponto de sela. Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, para encontrar onde as inclinações da função são zero.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando ajustamos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
Então, vamos calcular e .

Passo 3

Calculando :
Agora, calculando :

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Vamos simplificar essas equações.

Passo 5

Simplificando a equação (1):
Agora, substituímos na equação (2):

Passo 6

Resolvendo :
Então, ou

Passo 7

Agora, encontramos usando :
  • Se , então
  • Se , então
  • Se , então
Portanto, temos três pontos críticos: , e

Passo 8

Para determinar a natureza desses pontos, usamos o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
O discriminante é dado por:

Passo 9

Vamos calcular para cada ponto crítico:
  1. Ponto (0, 0):
    Como , é um ponto de sela.
  2. Ponto (1, 1):
    Além disso, , então é um máximo local.
  3. Ponto (-1, -1):
    Também, , então é um máximo local.

Resposta

Os pontos extremos da função são:
  • Ponto de sela em (0, 0)
  • Máximo local em (1, 1)
  • Máximo local em (-1, -1)

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