Calcule os pontos extremos de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar os pontos extremos da função
. Ponto extremo pode ser um máximo, mínimo ou um ponto de sela. Para resolver isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, para encontrar onde as inclinações da função são zero.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando ajustamos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
Então, vamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Vamos simplificar essas equações.
Passo 5
Simplificando a equação (1):
Agora, substituímos
na equação (2):
Passo 6
Resolvendo
:
Então,
ou
Passo 7
Agora, encontramos
usando
:
- Se
, então - Se
, então - Se
, então
Portanto, temos três pontos críticos:
,
e
Passo 8
Para determinar a natureza desses pontos, usamos o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
O discriminante
é dado por:
Passo 9
Vamos calcular
para cada ponto crítico:
-
Ponto (0, 0):Como
, é um ponto de sela. -
Ponto (1, 1):Além disso,
, então é um máximo local. -
Ponto (-1, -1):Também,
, então é um máximo local.
Resposta
Os pontos extremos da função
são:
- Ponto de sela em (0, 0)
- Máximo local em (1, 1)
- Máximo local em (-1, -1)
Exercícios relacionados
Uma chapa retangular
é determinada pelas retas
e
. A temperatura da chapa é
. Determinar o ponto mais quente e o ponto mais frio da chapa.
Seja
b) Mostre que não é diferenciável em
.
b) Mostre que
Aplique, se possível, o teorema de Rolle para a função
, em
; em caso afirmativo encontre o ponto que zera a derivada.
Se a temperatura, em um ponto
de uma bola sólida de raio 3 centrada em (
), é dada por
. Ache a direção, a partir de
, na qual a temperatura cresce mais rapidamente.