Aplique, se possível, o teorema de Rolle para as funções seguintes no intervalo indicado. Em caso afirmativo encontre o ponto que zera a derivada.
(a) f(x) = (x^2 - 4x) / (x + 2) em [0, 4];

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A gente precisa ver se dá pra aplicar o Teorema de Rolle na função no intervalo . O Teorema de Rolle diz que se uma função é contínua no intervalo fechado , diferenciável no intervalo aberto e tem , então existe pelo menos um ponto em onde a derivada .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no intervalo . A função tem um denominador . No intervalo de 0 a 4, nunca é zero (porque , então ), o que significa que a função é contínua nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos conferir se a função é diferenciável no intervalo aberto . A função é uma razão de polinômios e, como o denominador nunca é zero nesse intervalo, ela é diferenciável em todo .

Passo 4

Vamos ver se os valores nas extremidades são iguais, ou seja, se :
Então, sim, .

Passo 5

Com tudo isso, podemos aplicar o Teorema de Rolle! Isso garante que existe pelo menos um ponto em onde a derivada .

Passo 6

Vamos calcular a derivada . Primeiro, simplificamos a função:
Agora, derivamos:

Passo 7

Vamos encontrar o ponto onde :

Resposta

Portanto, o ponto que zera a derivada é no intervalo .

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