Aplique, se possível, o teorema de Rolle para as funções seguintes no intervalo indicado. Em caso afirmativo encontre o ponto que zera a derivada.
(a)
em
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A gente precisa ver se dá pra aplicar o Teorema de Rolle na função
no intervalo
. O Teorema de Rolle diz que se uma função é contínua no intervalo fechado
, diferenciável no intervalo aberto
e tem
, então existe pelo menos um ponto
em
onde a derivada
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no intervalo
. A função
tem um denominador
. No intervalo de 0 a 4,
nunca é zero (porque
, então
), o que significa que a função é contínua nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos conferir se a função é diferenciável no intervalo aberto
. A função é uma razão de polinômios e, como o denominador nunca é zero nesse intervalo, ela é diferenciável em todo
.
Passo 4
Vamos ver se os valores nas extremidades são iguais, ou seja, se
:
Então, sim,
.
Passo 5
Com tudo isso, podemos aplicar o Teorema de Rolle! Isso garante que existe pelo menos um ponto
em
onde a derivada
.
Passo 6
Vamos calcular a derivada
. Primeiro, simplificamos a função:
Agora, derivamos:
Passo 7
Vamos encontrar o ponto onde
:
Resposta
Portanto, o ponto que zera a derivada é
no intervalo
.
Exercícios relacionados
Calcule a transformada de Laplace pela definição
:
Para a função
definida implicitamente por
, verifique que o ponto
está na curva e determine
e
no ponto
. [Resp:
.
Investigue a continuidade de cada uma das funções abaixo, no ponto
:
c) ;
c)
(a) Mostre que a equação
não tem mais do que duas raízes reais distintas.