Calcule a transformada de Laplace pela definição Lf(t)=integral0^infty e^-s t f(t) d t : f(t)=ccsen(t), & 0 <= t= pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a transformada de Laplace de uma função definida por partes. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, e vamos usar a definição dela, que é a integral de f(t) = sin(t), & 0 <= t < pi 0, & t >= pi multiplicada por Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt de 0 até o infinito. A função que vamos transformar é:
Então, precisamos calcular:

Passo 2

Primeiro, vamos entender que Lf(t) = integral0^pi e^-s t sin(t) , dt é uma função que vale de 0 até e depois é zero. Isso significa que a integral de Laplace só precisa ir até , porque depois desse ponto é zero e não contribui para a integral. Então, podemos reescrever a transformação como:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral. A integral de integral e^-st sin(t) , dt = e^-st (s sin(t) - cos(t))s^2 + 1 + C pode ser encontrada usando métodos de integração por partes ou reconhecendo uma forma padrão. A fórmula para essa integral indefinida é:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando os limites de integração de 0 a Lf(t) = [ e^-st (s sin(t) - cos(t))s^2 + 1 ]0^pi , temos:
Isso significa que vamos calcular essa expressão em e em e subtrair os resultados.

Passo 5

Calculando em e^-spi (s sin(pi) - cos(pi))s^2 + 1 = e^-spi (0 - (-1))s^2 + 1 = e^-spis^2 + 1 :
e^0 (s sin(0) - cos(0))s^2 + 1 = 1 (0 - 1)s^2 + 1 = -1s^2 + 1
E em :

Passo 6

Subtraindo os valores:
Lf(t) = e^-spis^2 + 1 - ( -1s^2 + 1 ) = e^-spi + 1s^2 + 1

Resposta

A transformada de Laplace de Lf(t) = 1 + e^-spis^2 + 1 é:

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