Calcule a transformada de Laplace pela definição
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a transformada de Laplace de uma função definida por partes. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, e vamos usar a definição dela, que é a integral de
multiplicada por
de 0 até o infinito. A função que vamos transformar é:
Então, precisamos calcular:
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é uma função que vale
de 0 até
e depois é zero. Isso significa que a integral de Laplace só precisa ir até
, porque depois desse ponto
é zero e não contribui para a integral. Então, podemos reescrever a transformação como:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa integral. A integral de
pode ser encontrada usando métodos de integração por partes ou reconhecendo uma forma padrão. A fórmula para essa integral indefinida é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Aplicando os limites de integração de 0 a
, temos:
Isso significa que vamos calcular essa expressão em
e em
e subtrair os resultados.
Passo 5
Calculando em
:
E em
:
Passo 6
Subtraindo os valores:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
Exercícios relacionados
Para a função
definida implicitamente por
, verifique que o ponto
está na curva e determine
e
no ponto
. [Resp:
.
Determine o valor dos limites, quando existirem:
d)
d)
Aplique, se possível, o teorema de Rolle para as funções seguintes no intervalo indicado. Em caso afirmativo encontre o ponto que zera a derivada.
(a) em
;
(a)
Investigue a continuidade de cada uma das funções abaixo, no ponto
:
c) ;
c)