Calcule a transformada de Laplace pela definição :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a transformada de Laplace de uma função definida por partes. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, e vamos usar a definição dela, que é a integral de multiplicada por de 0 até o infinito. A função que vamos transformar é:
Então, precisamos calcular:

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é uma função que vale de 0 até e depois é zero. Isso significa que a integral de Laplace só precisa ir até , porque depois desse ponto é zero e não contribui para a integral. Então, podemos reescrever a transformação como:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral. A integral de pode ser encontrada usando métodos de integração por partes ou reconhecendo uma forma padrão. A fórmula para essa integral indefinida é:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando os limites de integração de 0 a , temos:
Isso significa que vamos calcular essa expressão em e em e subtrair os resultados.

Passo 5

Calculando em :
E em :

Passo 6

Subtraindo os valores:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

Exercícios relacionados

Para a função definida implicitamente por , verifique que o ponto está na curva e determine e no ponto . [Resp: .
Determine o valor dos limites, quando existirem:
d)
Aplique, se possível, o teorema de Rolle para as funções seguintes no intervalo indicado. Em caso afirmativo encontre o ponto que zera a derivada.
(a) em ;
Investigue a continuidade de cada uma das funções abaixo, no ponto :
c) ;