Para a função definida implicitamente por , verifique que o ponto está na curva e determine e no ponto . [Resp: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que está definida de forma implícita pela equação . O exercício pede para a gente conferir se o ponto está nessa curva e depois calcular a primeira e a segunda derivada de em relação a nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas implícitas, que é quando a função não está isolada, e um pouco de cálculo de derivadas de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o ponto realmente está na curva definida por . Substituindo e na equação:
Como a igualdade se mantem, o ponto está na curva. Sucesso nessa parte!
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada . Como a função está definida implicitamente, usamos a derivada implícita. Diferenciando ambos os lados da equação em relação a :
Aplicando a regra do produto na primeira parte e a regra da cadeia na segunda:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação para :
Fatorando :
Finalmente, isolando :
Passo 5
Agora, vamos calcular no ponto . Substituindo e na expressão que encontramos:
Então, .
Passo 6
Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Para isso, vamos diferenciar em relação a .