Para a função y(x) definida implicitamente por x*y + y^2 = 1, verifique que o ponto p = (0, -1) está na curva e determine d/y d/x e d²y/dx² no ponto p. [Resp: y'(0) = -1/2 ; y''(0) = -1/4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que está definida de forma implícita pela equação . O exercício pede para a gente conferir se o ponto está nessa curva e depois calcular a primeira e a segunda derivada de em relação a nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas implícitas, que é quando a função não está isolada, e um pouco de cálculo de derivadas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o ponto realmente está na curva definida por . Substituindo e na equação:
Como a igualdade se mantem, o ponto está na curva. Sucesso nessa parte!

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada . Como a função está definida implicitamente, usamos a derivada implícita. Diferenciando ambos os lados da equação em relação a :
Aplicando a regra do produto na primeira parte e a regra da cadeia na segunda:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para :
Fatorando :
Finalmente, isolando :

Passo 5

Agora, vamos calcular no ponto . Substituindo e na expressão que encontramos:
Então, .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Para isso, vamos diferenciar em relação a .
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Agora, substituindo , e :
Calculando passo a passo:
Portanto, .

Resposta

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