Investigue a continuidade de cada uma das funções abaixo, no ponto
:
c)
;
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente verificar se a função
é contínua no ponto
. Isso está relacionado ao conceito de continuidade, que basicamente diz que, para uma função ser contínua em um ponto, o limite da função quando nos aproximamos desse ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto. A gente vai precisar calcular o limite de
quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual a 0.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função:
Queremos calcular:
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde
e
, e
. Isso simplifica bastante os limites em duas variáveis.
Passo 3
Substituindo
e
por suas expressões em coordenadas polares:
Simplificando os
:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite quando
. Olhe só, na expressão final, não há mais o
! Isso significa que o limite depende apenas de
, o que indica que o limite pode variar dependendo do caminho que escolhemos para chegar em
.
Por exemplo:
-
Se
, então , e . -
Se
, então , e . -
Se
, então , e .
Na verdade, para qualquer
, independentemente do valor,
será sempre
. Portanto, o limite é 0.
Resposta
Como o limite de
quando
se aproxima de
é igual a 0, que é o valor de
, a função
é contínua no ponto
.