Investigue a continuidade de cada uma das funções abaixo, no ponto (0,0) :
c) f(x, y) = { xy * (x - y) / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ 0; 0, se (x, y) = 0 };

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente verificar se a função é contínua no ponto . Isso está relacionado ao conceito de continuidade, que basicamente diz que, para uma função ser contínua em um ponto, o limite da função quando nos aproximamos desse ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto. A gente vai precisar calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual a 0.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função:
Queremos calcular:
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde e , e . Isso simplifica bastante os limites em duas variáveis.

Passo 3

Substituindo e por suas expressões em coordenadas polares:
Simplificando os :

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite quando . Olhe só, na expressão final, não há mais o ! Isso significa que o limite depende apenas de , o que indica que o limite pode variar dependendo do caminho que escolhemos para chegar em .
Por exemplo:
  • Se , então , e .
  • Se , então , e .
  • Se , então , e .
Na verdade, para qualquer , independentemente do valor, será sempre . Portanto, o limite é 0.

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de é igual a 0, que é o valor de , a função é contínua no ponto .

Exercícios relacionados