(a) Mostre que a equação
não tem mais do que duas raízes reais distintas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação
não tem mais do que duas raízes reais distintas. Vamos resolver isso usando cálculo, especificamente derivadas, para entender quantas vezes a função pode cruzar o eixo x.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que temos aqui. A equação é um polinômio de quarto grau (
), o que geralmente pode ter até quatro raízes reais. Mas queremos mostrar que, nesse caso específico, não tem mais do que duas.
Passo 3
Para entender quantas raízes reais a função pode ter, precisamos analisar o comportamento da função. Vamos chamar a função de
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
para encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde a inclinação da função é zero. A derivada nos ajuda a identificar máximos e mínimos locais, o que é essencial para entender quantas vezes a função pode cruzar o eixo x.
A derivada de
é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores de
que fazem
:
Então, há apenas um ponto crítico em
.
Passo 6
Como temos apenas um ponto crítico, isso significa que a função
tem apenas um ponto de máximo ou mínimo. Isso limita o número de vezes que a função pode mudar de direção, ou seja, ter curvas ascendentes e descendentes suficientes para cruzar o eixo x mais de duas vezes.
Passo 7
Analisando o comportamento da função:
- Quando
tende a , tende a . - Quando
tende a , também tende a .
Com apenas um ponto de inflexão, a função só pode cruzar o eixo x no máximo duas vezes.
Resposta
Portanto, a equação
não tem mais do que duas raízes reais distintas.
Exercícios relacionados
Investigue a continuidade de cada uma das funções abaixo, no ponto
:
c) ;
c)
Aplique, se possível, o teorema de Rolle para as funções seguintes no intervalo indicado. Em caso afirmativo encontre o ponto que zera a derivada.
(a) em
;
(a)
(b) Mostre que a equação
possui exatamente uma raíz real.
Encontre F(s) pelo
Teorema de Translação: