(a) Mostre que a equação não tem mais do que duas raízes reais distintas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a equação não tem mais do que duas raízes reais distintas. Vamos resolver isso usando cálculo, especificamente derivadas, para entender quantas vezes a função pode cruzar o eixo x.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que temos aqui. A equação é um polinômio de quarto grau ( ), o que geralmente pode ter até quatro raízes reais. Mas queremos mostrar que, nesse caso específico, não tem mais do que duas.

Passo 3

Para entender quantas raízes reais a função pode ter, precisamos analisar o comportamento da função. Vamos chamar a função de .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de para encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde a inclinação da função é zero. A derivada nos ajuda a identificar máximos e mínimos locais, o que é essencial para entender quantas vezes a função pode cruzar o eixo x.
A derivada de é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de que fazem :
Então, há apenas um ponto crítico em .

Passo 6

Como temos apenas um ponto crítico, isso significa que a função tem apenas um ponto de máximo ou mínimo. Isso limita o número de vezes que a função pode mudar de direção, ou seja, ter curvas ascendentes e descendentes suficientes para cruzar o eixo x mais de duas vezes.

Passo 7

Analisando o comportamento da função:
  • Quando tende a , tende a .
  • Quando tende a , também tende a .
Com apenas um ponto de inflexão, a função só pode cruzar o eixo x no máximo duas vezes.

Resposta

Portanto, a equação não tem mais do que duas raízes reais distintas.

Exercícios relacionados

Investigue a continuidade de cada uma das funções abaixo, no ponto :
c) ;
Aplique, se possível, o teorema de Rolle para as funções seguintes no intervalo indicado. Em caso afirmativo encontre o ponto que zera a derivada.
(a) em ;
(b) Mostre que a equação possui exatamente uma raíz real.
Encontre F(s) pelo Teorema de Translação: