Aplique a regra do ponto médio com m=n=2 para obter uma aproximação para a integral integral duplaR(x-y^2) d A onde R=(x, y): 1 <= x <= 2,0 <= y <= 1=[1,2] times[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa aplicar a Regra do Ponto Médio para aproximar a integral dupla , onde a região é o retângulo . Vamos usar , ou seja, vamos dividir o intervalo de e cada um em 2 partes. A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, especificamente a aproximação de integrais duplas usando a regra de pontos médios.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo de de em 2 subintervalos iguais. Isso significa que cada subintervalo terá comprimento . Então, os subintervalos de ficam:
  • Primeiro subintervalo:
  • Segundo subintervalo:

Passo 3

Agora, vamos dividir o intervalo de de em 2 subintervalos iguais também. Cada subintervalo terá comprimento . Assim, os subintervalos de ficam:
  • Primeiro subintervalo:
  • Segundo subintervalo:

Passo 4

A próxima etapa é encontrar os pontos médios de cada subintervalo. Para :
  • Ponto médio do primeiro subintervalo de :
  • Ponto médio do segundo subintervalo de :
Para :
  • Ponto médio do primeiro subintervalo de :
  • Ponto médio do segundo subintervalo de :

Passo 5

Agora, vamos identificar os quatro pontos médios do retângulo combinando os valores de e :

Passo 6

Em seguida, vamos calcular o valor da função f(1,25, 0,25) = 1,25 - (0,25)^2 = 1,25 - 0,0625 = 1,1875 em cada um desses pontos médios:
  1. Para f(1,25, 0,75) = 1,25 - (0,75)^2 = 1,25 - 0,5625 = 0,6875 : f(1,75, 0,25) = 1,75 - (0,25)^2 = 1,75 - 0,0625 = 1,6875
  2. Para f(1,75, 0,75) = 1,75 - (0,75)^2 = 1,75 - 0,5625 = 1,1875 :
  3. Para :
  4. Para :

Passo 7

Agora, vamos somar todos esses valores de 1,1875 + 0,6875 + 1,6875 + 1,1875 = 4,75 :

Passo 8

Por fim, para obter a aproximação da integral dupla, multiplicamos a soma dos valores de Aproximação = 4,75 times 0,25 = 1,1875 pela área de cada subretângulo, que é :
çã

Resposta

A aproximação da integral dupla é 1,1875.

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