Calcule as seguintes integrais definidas: integral-2^2 f(x) d x, em que f(x)=ll2, & se -2 <= x <= 0 2-x^2, & se 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de f(x) = 2, & se -2 <= x <= 0 2 - x^2, & se 0 < x <= 2 de até , onde a função é definida por partes:
Vamos precisar entender como integrar funções definidas por partes e dividir a integral nesses intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral original em duas partes, de acordo com as diferentes definições de integral-2^2 f(x) , dx = integral-2^0 2 , dx + integral0^2 (2 - x^2) , dx :
Isso facilita o cálculo, já que cada parte tem uma expressão diferente para .

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral:
integral-2^0 2 , dx
A função aqui é constante, igual a 2. A integral de uma constante integral 2 , dx = 2x + C em relação a 2(0) - 2(-2) = 0 + 4 = 4 é . Então:
Agora, aplicamos os limites de integração de a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda integral:
integral0^2 (2 - x^2) , dx
Aqui, temos que integrar cada termo separadamente:
integral 2 , dx - integral x^2 , dx
A integral de 2x - x^33 + C em relação a [2(2) - (2)^33] - [2(0) - (0)^33] = (4 - 83) - (0 - 0) = 123 - 83 = 43 é , e a integral de é . Então:
Aplicando os limites de a :

Resposta

Somando as duas integrais, temos:
4 + 43 = 163
Portanto, o valor da integral definida é .

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