Calcule a integral iterada:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício propôs. A gente vai trabalhar com integrais iteradas, que é quando a gente integra uma função em duas variáveis, uma de cada vez. Aqui, a gente precisa integrar a função
primeiro em relação a
de 0 a 2, e depois em relação a
de 1 a 4. Então, vamos precisar lembrar como integrar funções polinomiais e seguir passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a função
em relação a
. Isso significa que
vai ser tratado como uma constante durante essa integração.
A integral de
em relação a
é:
A integral de
em relação a
é:
Então, combinando essas duas partes, temos:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de
de 0 a 2. Isso significa que substituímos
por 2 e por 0 e subtraímos os resultados.
Substituindo
:
Substituindo
:
Então, a integral em relação a
fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar o resultado
em relação a
, no intervalo de 1 a 4.
A integral de
em relação a
é:
A integral de
em relação a
é:
Então, combinando essas duas partes, temos:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de
de 1 a 4.
Substituindo
:
Substituindo
:
Então, a integral em relação a
fica:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
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Verifique se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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converge ou diverge.
Calcule as seguintes integrais definidas:
, em que
Aplique a regra do ponto médio com
para obter uma aproximação para a integral
onde
.