Calcule a integral iterada:
(a) integral1^4 integral0^2(6 x^2 y+2 x) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício propôs. A gente vai trabalhar com integrais iteradas, que é quando a gente integra uma função em duas variáveis, uma de cada vez. Aqui, a gente precisa integrar a função primeiro em relação a de 0 a 2, e depois em relação a de 1 a 4. Então, vamos precisar lembrar como integrar funções polinomiais e seguir passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função integral 6x^2y , dx = 6y integral x^2 , dx = 6y ( x^33 ) = 2y x^3 em relação a integral 2x , dx = 2x^22 = x^2 . Isso significa que integral (6x^2y + 2x) dx = 2y x^3 + x^2 vai ser tratado como uma constante durante essa integração.
A integral de em relação a é:
A integral de em relação a é:
Então, combinando essas duas partes, temos:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 2y (2)^3 + (2)^2 = 2y cdot 8 + 4 = 16y + 4 de 0 a 2. Isso significa que substituímos 2y (0)^3 + (0)^2 = 0 + 0 = 0 por 2 e por 0 e subtraímos os resultados.
Substituindo (16y + 4) - 0 = 16y + 4 :
Substituindo :
Então, a integral em relação a fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado integral 16y , dy = 16 cdot y^22 = 8y^2 em relação a integral 4 , dy = 4y , no intervalo de 1 a 4.
A integral de integral (16y + 4) dy = 8y^2 + 4y em relação a é:
A integral de em relação a é:
Então, combinando essas duas partes, temos:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 8(4)^2 + 4(4) = 8 cdot 16 + 16 = 128 + 16 = 144 de 1 a 4.
Substituindo 8(1)^2 + 4(1) = 8 cdot 1 + 4 = 8 + 4 = 12 :
144 - 12 = 132
Substituindo :
Então, a integral em relação a fica:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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