Calcule a integral dupla
, onde
é a região delimitada pelas re
e
.
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla
, onde a região
é delimitada pelas retas
,
e
. Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais duplas e geometria analítica. Vamos precisar entender como identificar os limites de integração e como configurar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar as retas que delimitam a região
para entender melhor como elas se intersectam. As retas são:
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas para definir os limites da região
.
-
Interseção de
e :
Então, o ponto de interseção é. -
Interseção de
e :
Então, o ponto de interseção é. -
Interseção de
e :
Então, o ponto de interseção é.
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, percebemos que a região
é um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração. Podemos integrar primeiro em
e depois em
.
Para um dado
,
varia das linhas
e
. Resolvendo essas equações para
, temos:
- De
: - De
:
Como
varia de 0 a 1, os limites de integração são:
-
de 0 a 1 -
de a
Passo 6
Agora, podemos escrever a integral dupla com os limites determinados:
Passo 7
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Aplique a regra do ponto médio com
para obter uma aproximação para a integral
onde
.
Calcule a integral dupla
, onde
.
Prove, usando o Princípio de Indução Finita, que
.