Calcule a integral dupla integral duplaR x y d A, onde R é a região delimitada pelas re tas y=1, y=3 x e y=x2.

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla integral duplaR x y , dA, onde a região R é delimitada pelas retas y=1, y=3x e y=x2. Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais duplas e geometria analítica. Vamos precisar entender como identificar os limites de integração e como configurar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as retas que delimitam a região R para entender melhor como elas se intersectam. As retas são:
  • y = 1
  • y = 3x
  • y = x2

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas para definir os limites da região R.
  1. Interseção de y=1 e y=3x:
    1 = 3x implies x = 13
    Então, o ponto de interseção é (13, 1).
  2. Interseção de y=1 e y=x2:
    1 = x2 implies x = 2
    Então, o ponto de interseção é (2, 1).
  3. Interseção de y=3x e y=x2:
    3x = x2 implies 3x - x2 = 0 implies 5x2 = 0 implies x = 0
    Então, o ponto de interseção é (0, 0).

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, percebemos que a região R é um triângulo com vértices em (0,0), (13, 1) e (2,1).

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração. Podemos integrar primeiro em x e depois em y.
Para um dado y, x varia das linhas y = 3x e y = x2. Resolvendo essas equações para x, temos:
  • De y = 3x: x = y3
  • De y = x2: x = 2y
Como y varia de 0 a 1, os limites de integração são:
  • y de 0 a 1
  • x de y3 a 2y

Passo 6

Agora, podemos escrever a integral dupla com os limites determinados:
integral duplaR x y , dA = integral0^1 integraly3^2y x y , dx , dy

Passo 7

Vamos calcular a integral interna em relação a x:
integraly3^2y x y , dx = y integraly3^2y x , dx = y [ x^22 ]y3^2y = y ( (2y)^22 - (y3)^22 )
Simplificando:
= y ( 4y^22 - y^292 ) = y ( 2y^2 - y^218 ) = y ( 36y^2 - y^218 ) = y ( 35y^218 ) = 35y^318

Passo 8

Agora, integramos em relação a y:
integral0^1 35y^318 , dy = 3518 integral0^1 y^3 , dy = 3518 [ y^44 ]0^1 = 3518 ( 14 - 0 ) = 3572

Resposta

O valor da integral dupla é 3572.

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