Aplique o Teorema de Existência e Unicidade e determine se o PVI , , tem única solução. Determine o intervalo de existencia da solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um problema de valor inicial (PVI) dado pela equação diferencial com a condição inicial . Nosso objetivo é aplicar o **Teorema de Existência e Unicidade** para verificar se essa solução é única e descobrir em qual intervalo essa solução existe. Para isso, vamos precisar conhecer o **Teorema de Picard-Lindelöf**, que nos dá critérios para a existência e unicidade da solução de uma equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que o **Teorema de Picard-Lindelöf** diz. Ele afirma que se a função e sua derivada parcial em relação a forem contínuas em uma região que contém o ponto inicial , então existe uma única solução para o PVI no entorno desse ponto. No nosso caso, a função é . Precisamos verificar se e são contínuas perto de .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a : Agora, analisando a continuidade: - A função é contínua para todo , mas no ponto . - Já a derivada não é definida em , pois teríamos divisão por zero.

Passo 4

Como a derivada parcial não é contínua no ponto , o Teorema de Picard-Lindelöf não garante a unicidade da solução nesse ponto. Portanto, pode existir mais de uma solução que passa por .

Passo 5

Vamos então encontrar as possíveis soluções do PVI. A equação diferencial é separável, então podemos separar as variáveis: Integrando ambos os lados: Onde é a constante de integração. Resolvendo para : Aplicando a condição inicial : Portanto, uma solução é:

Passo 6

Além dessa solução, observamos que para todo também satisfaz a equação diferencial e a condição inicial: Portanto, temos pelo menos duas soluções: 1. para todo . 2. para . Isso confirma que a solução não é única no ponto inicial.

Passo 7

Por fim, vamos determinar o intervalo de existência para cada solução: 1. **Para **: Essa solução é válida para todo . 2. **Para **: Essa solução está definida apenas para , já que não podemos ter a raiz de um número negativo no conjunto dos números reais.

Resposta

O PVI , , não tem uma solução única. Existem pelo menos duas soluções: 1. para todo . 2. para . Portanto, a solução existe no intervalo para a segunda solução e para todo para a solução trivial .

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