Aplique o Teorema de Existência e Unicidade e determine se o PVI
,
, tem única solução. Determine o intervalo de existencia da solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um problema de valor inicial (PVI) dado pela equação diferencial
com a condição inicial
. Nosso objetivo é aplicar o Teorema de Existência e Unicidade para verificar se essa solução é única e descobrir em qual intervalo essa solução existe.
Para isso, vamos precisar conhecer o Teorema de Picard-Lindelöf, que nos dá critérios para a existência e unicidade da solução de uma equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema de Picard-Lindelöf diz. Ele afirma que se a função
e sua derivada parcial em relação a
forem contínuas em uma região que contém o ponto inicial
, então existe uma única solução para o PVI no entorno desse ponto.
No nosso caso, a função
é
. Precisamos verificar se
e
são contínuas perto de
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, analisando a continuidade:
- A função
é contínua para todo , mas no ponto . - Já a derivada
não é definida em , pois teríamos divisão por zero.
Passo 4
Como a derivada parcial
não é contínua no ponto
, o Teorema de Picard-Lindelöf não garante a unicidade da solução nesse ponto. Portanto, pode existir mais de uma solução que passa por
.
Passo 5
Vamos então encontrar as possíveis soluções do PVI. A equação diferencial é separável, então podemos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Resolvendo para
:
Aplicando a condição inicial
:
Portanto, uma solução é:
Passo 6
Além dessa solução, observamos que
para todo
também satisfaz a equação diferencial e a condição inicial:
Portanto, temos pelo menos duas soluções:
-
para todo . -
para .
Isso confirma que a solução não é única no ponto inicial.
Passo 7
Por fim, vamos determinar o intervalo de existência para cada solução:
- Para
: Essa solução é válida para todo . - Para
: Essa solução está definida apenas para , já que não podemos ter a raiz de um número negativo no conjunto dos números reais.
Resposta
O PVI
,
, não tem uma solução única. Existem pelo menos duas soluções:
-
para todo . -
para .
Portanto, a solução existe no intervalo
para a segunda solução e para todo
para a solução trivial
.