)^(1.0) Aplique o Teorema de Existência e Unicidade e determine se o PVI d/dx z = z^(1/3), z(0) = 0, tem única solução. Determine o intervalo de existencia da solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um problema de valor inicial (PVI) dado pela equação diferencial com a condição inicial . Nosso objetivo é aplicar o Teorema de Existência e Unicidade para verificar se essa solução é única e descobrir em qual intervalo essa solução existe.
Para isso, vamos precisar conhecer o Teorema de Picard-Lindelöf, que nos dá critérios para a existência e unicidade da solução de uma equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema de Picard-Lindelöf diz. Ele afirma que se a função e sua derivada parcial em relação a z forem contínuas em uma região que contém o ponto inicial , então existe uma única solução para o PVI no entorno desse ponto.
No nosso caso, a função é . Precisamos verificar se f e são contínuas perto de .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de f em relação a z:
Agora, analisando a continuidade:
  • A função é contínua para todo z ≥ 0, mas no ponto .
  • Já a derivada não é definida em , pois teríamos divisão por zero.

Passo 4

Como a derivada parcial não é contínua no ponto , o Teorema de Picard-Lindelöf não garante a unicidade da solução nesse ponto. Portanto, pode existir mais de uma solução que passa por .

Passo 5

Vamos então encontrar as possíveis soluções do PVI. A equação diferencial é separável, então podemos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde C é a constante de integração. Resolvendo para z:
Aplicando a condição inicial :
Portanto, uma solução é:

Passo 6

Além dessa solução, observamos que para todo x também satisfaz a equação diferencial e a condição inicial:
Portanto, temos pelo menos duas soluções:
  1. para todo x.
  2. para x >= 0.
Isso confirma que a solução não é única no ponto inicial.

Passo 7

Por fim, vamos determinar o intervalo de existência para cada solução:
  1. Para : Essa solução é válida para todo x em R.
  2. Para : Essa solução está definida apenas para x >= 0, já que não podemos ter a raiz de um número negativo no conjunto dos números reais.

Resposta

O PVI , , não tem uma solução única. Existem pelo menos duas soluções:
  1. para todo x em R.
  2. para x >= 0.
Portanto, a solução existe no intervalo x >= 0 para a segunda solução e para todo x para a solução trivial .

Exercícios relacionados