Aplique o Teorema de Existência e Unicidade e determine se o PVI , , tem única solução. Determine o intervalo de existencia da solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um problema de valor inicial (PVI) dado pela equação diferencial com a condição inicial . Nosso objetivo é aplicar o **Teorema de Existência e Unicidade** para verificar se essa solução é única e descobrir em qual intervalo essa solução existe.
Para isso, vamos precisar conhecer o **Teorema de Picard-Lindelöf**, que nos dá critérios para a existência e unicidade da solução de uma equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que o **Teorema de Picard-Lindelöf** diz. Ele afirma que se a função e sua derivada parcial em relação a forem contínuas em uma região que contém o ponto inicial , então existe uma única solução para o PVI no entorno desse ponto.
No nosso caso, a função é . Precisamos verificar se e são contínuas perto de .
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Agora, analisando a continuidade:
- A função é contínua para todo , mas no ponto .
- Já a derivada não é definida em , pois teríamos divisão por zero.
Passo 4
Como a derivada parcial não é contínua no ponto , o Teorema de Picard-Lindelöf não garante a unicidade da solução nesse ponto. Portanto, pode existir mais de uma solução que passa por .
Passo 5
Vamos então encontrar as possíveis soluções do PVI. A equação diferencial é separável, então podemos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Resolvendo para :
Aplicando a condição inicial :
Portanto, uma solução é:
Passo 6
Além dessa solução, observamos que para todo também satisfaz a equação diferencial e a condição inicial:
Portanto, temos pelo menos duas soluções:
1. para todo .
2. para .
Isso confirma que a solução não é única no ponto inicial.
Passo 7
Por fim, vamos determinar o intervalo de existência para cada solução:
1. **Para **: Essa solução é válida para todo .
2. **Para **: Essa solução está definida apenas para , já que não podemos ter a raiz de um número negativo no conjunto dos números reais.
Resposta
O PVI , , não tem uma solução única. Existem pelo menos duas soluções:
1. para todo .
2. para .
Portanto, a solução existe no intervalo para a segunda solução e para todo para a solução trivial .
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