Verifique se a EDO
. é exata. Caso não seja, encontre fator de integração que a transforme numa EDO exata. Em seguida, resolva a EDO.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a Equação Diferencial Ordinária (EDO)
é exata. Se não for, temos que encontrar um fator de integração que a torne exata e, depois, resolver a EDO. Vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO na forma padrão:
Comparando com a nossa equação:
Passo 3
Uma EDO é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular essas derivadas:
Como
, a EDO não é exata.
Passo 4
Como a EDO não é exata, precisamos encontrar um fator de integração
que, ao multiplicar a EDO, a torne exata. Geralmente, tentamos fatores que dependem apenas de
ou de
.
Vamos assumir que
depende apenas de
. Então, a condição para
é:
Substituindo os valores:
Então, temos:
Podemos escolher
sem perda de generalidade, então
.
Passo 5
Multiplicando a EDO original pelo fator de integração
:
Simplificando:
Agora, as derivadas parciais verificam a condição de exatidão:
Como são iguais, a EDO é exata.
Passo 6
Como a EDO é exata agora, existe uma função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Isso implica que
, então
é constante. Podemos ignorar essa constante.
Passo 7
A solução geral da EDO é obtida igualando
a uma constante
:
Podemos deixar assim ou resolver para
em função de
, mas geralmente essa forma implícita já é considerada a solução.
Resposta
A solução geral da EDO é
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Volume de um sólido retangular Escreva seis diferentes integrais triplas iteradas para o volume do sólido retangular no primeiro octante, delimitado pelos planos coordenados e os planos
. Calcule uma das integrais.
b)