)^(1.5) Verifique se a EDO x^2/2 + 2 x e^t + (x + e^t) dx/dt = 0. é exata. Caso não seja, encontre fator de integração que a transforme numa EDO exata. Em seguida, resolva a EDO.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a Equação Diferencial Ordinária (EDO)
é exata. Se não for, temos que encontrar um fator de integração que a torne exata e, depois, resolver a EDO. Vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO na forma padrão:
Comparando com a nossa equação:

Passo 3

Uma EDO é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular essas derivadas:
Como , a EDO não é exata.

Passo 4

Como a EDO não é exata, precisamos encontrar um fator de integração que, ao multiplicar a EDO, a torne exata. Geralmente, tentamos fatores que dependem apenas de ou de .
Vamos assumir que depende apenas de . Então, a condição para é:
Substituindo os valores:
Então, temos:
Podemos escolher sem perda de generalidade, então .

Passo 5

Multiplicando a EDO original pelo fator de integração :
Simplificando:
Agora, as derivadas parciais verificam a condição de exatidão:
Como são iguais, a EDO é exata.

Passo 6

Como a EDO é exata agora, existe uma função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Isso implica que , então é constante. Podemos ignorar essa constante.

Passo 7

A solução geral da EDO é obtida igualando a uma constante :
Podemos deixar assim ou resolver para em função de , mas geralmente essa forma implícita já é considerada a solução.

Resposta

A solução geral da EDO é
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados