Veriqfique que a equação diferencial
é homogênea. Resolva a equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial dada por
. O primeiro passo é verificar se essa equação é homogênea. Isso faz parte do estudo das equações diferenciais homogêneas, que são aquelas onde todos os termos podem ser expressos como uma função de
. Para isso, vamos analisar os termos da equação.
Passo 2
Vamos simplificar a equação original:
Podemos reescrever o numerador e o denominador dividindo cada termo por
:
Aqui, vemos que tudo está em termos de
, o que confirma que a equação é homogênea.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é homogênea, vamos resolver usando a substituição
. Com isso, temos que
e, derivando ambos os lados em relação a
, obtemos:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados por
para simplificar:
Distribuindo:
Simplificando e rearranjando termos:
Fatorando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, essa equação é separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos
por
:
Podemos multiplicar todos os termos por
para simplificar:
Onde
é outra constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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