1.5 Veriqfique que a equação diferencial (3 t^3 - t x^2) / (3 t^2 x + x^3) * d(x)/d(t) = 1 é homogênea. Resolva a equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial dada por (3 t^3 - t x^2) / (3 t^2 x + x^3) * d(x)/d(t) = 1. O primeiro passo é verificar se essa equação é homogênea. Isso faz parte do estudo das equações diferenciais homogêneas, que são aquelas onde todos os termos podem ser expressos como uma função de . Para isso, vamos analisar os termos da equação.

Passo 2

Vamos simplificar a equação original:
Podemos reescrever o numerador e o denominador dividindo cada termo por :
Aqui, vemos que tudo está em termos de , o que confirma que a equação é homogênea.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é homogênea, vamos resolver usando a substituição . Com isso, temos que e, derivando ambos os lados em relação a t, obtemos:
Substituindo x e dx/dt na equação original:
Simplificando:

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados por para simplificar:
Distribuindo:
Simplificando e rearranjando termos:
Fatorando d v / d t:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Agora, essa equação é separável. Vamos separar as variáveis v e t:
Integrando ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos v por :
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para simplificar:
Onde é outra constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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