Aplique o Teorema de Existência e Unicidade (Teorema de Picard) das soluções de um problema de valor inicial (PVI) para provar que existe uma única solução para a equação diferencial y' = raiz(y^2 - 9) passando pelo ponto dado. (4) (-1, 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teorema de Existência e Unicidade (também conhecido como Teorema de Picard) para provar que existe uma única solução para a equação diferencial que passa pelo ponto .
Então, primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Picard. Esse teorema nos diz que, sob certas condições, existe uma solução única para um problema de valor inicial (PVI). Para aplicá-lo, precisamos verificar se a função que define a equação diferencial é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz em torno do ponto inicial.

Passo 2

Vamos analisar a função . Para o Teorema de Picard funcionar, essa função precisa ser contínua no ponto onde queremos a solução, que aqui é .
Mas olha só: se substituirmos na função, temos:

Passo 3

Aí já vemos um probleminha: a raiz quadrada de um número negativo ( ) não é um número real. Ou seja, a função não está definida para no conjunto dos números reais.

Passo 4

Como a função não está definida no ponto , ela não é contínua nesse ponto. Isso significa que as condições do Teorema de Picard não são satisfeitas aqui.

Passo 5

Sem a continuidade da função no ponto inicial, não podemos aplicar o Teorema de Picard para garantir a existência e unicidade de uma solução que passe por . Na verdade, o fato de não estar definida nesse ponto sugere que não existe uma solução real para a equação diferencial que passe por .

Resposta

Não existe uma solução real para a equação diferencial que passe pelo ponto .

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