Aplique o Teorema de Existência e Unicidade (Teorema de Picard) das soluções de um problema de valor inicial (PVI) para provar que existe uma única solução para a equação diferencial
passando pelo ponto dado. (4)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teorema de Existência e Unicidade (também conhecido como Teorema de Picard) para provar que existe uma única solução para a equação diferencial
que passa pelo ponto
.
Então, primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Picard. Esse teorema nos diz que, sob certas condições, existe uma solução única para um problema de valor inicial (PVI). Para aplicá-lo, precisamos verificar se a função que define a equação diferencial é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz em torno do ponto inicial.
Passo 2
Vamos analisar a função
. Para o Teorema de Picard funcionar, essa função precisa ser contínua no ponto onde queremos a solução, que aqui é
.
Mas olha só: se substituirmos
na função, temos:
Passo 3
Aí já vemos um probleminha: a raiz quadrada de um número negativo (
) não é um número real. Ou seja, a função
não está definida para
no conjunto dos números reais.
Passo 4
Como a função não está definida no ponto
, ela não é contínua nesse ponto. Isso significa que as condições do Teorema de Picard não são satisfeitas aqui.
Passo 5
Sem a continuidade da função no ponto inicial, não podemos aplicar o Teorema de Picard para garantir a existência e unicidade de uma solução que passe por
. Na verdade, o fato de
não estar definida nesse ponto sugere que não existe uma solução real para a equação diferencial que passe por
.
Resposta
Não existe uma solução real para a equação diferencial
que passe pelo ponto
.
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A região entre as curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante:
; em torno do eixo x
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(Teste da série alternada - calcule a soma com erro de 0,01)
Determine intervalos de crescimento e decrescimento da função
.