Determine intervalos de crescimento e decrescimento da função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função . Isso envolve cálculo de derivadas, que é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a entender como uma função se comporta, seja subindo ou descendo. Vamos precisar calcular a primeira derivada da função e analisar onde ela é positiva ou negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto. Para calcular, usamos as regras de derivação:
Calculando termo a termo:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde a derivada é zero. Esses pontos vão nos ajudar a dividir a linha dos números reais em intervalos para testar o comportamento da função.
Vamos resolver a equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -6:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Portanto, os pontos críticos são:

Passo 4

Com os pontos críticos e , vamos dividir a reta real em três intervalos para testar o sinal da derivada em cada um deles:
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e substituir na derivada para ver se é positivo (função crescente) ou negativo (função decrescente).
Intervalo 1:
Escolha :
Sinal negativo: função está decrescendo.
Intervalo 2:
Escolha :
Sinal positivo: função está crescendo.
Intervalo 3:
Escolha :
Sinal negativo: função está decrescendo.

Resposta

A função está:
  • Decrescendo nos intervalos e .
  • Crescendo no intervalo .

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