Determine intervalos de crescimento e decrescimento da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função
. Isso envolve cálculo de derivadas, que é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a entender como uma função se comporta, seja subindo ou descendo. Vamos precisar calcular a primeira derivada da função e analisar onde ela é positiva ou negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto. Para calcular, usamos as regras de derivação:
Calculando termo a termo:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada é zero. Esses pontos vão nos ajudar a dividir a linha dos números reais em intervalos para testar o comportamento da função.
Vamos resolver a equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -6:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Portanto, os pontos críticos são:
Passo 4
Com os pontos críticos
e
, vamos dividir a reta real em três intervalos para testar o sinal da derivada em cada um deles:
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e substituir na derivada
para ver se é positivo (função crescente) ou negativo (função decrescente).
Intervalo 1:
Escolha :
Escolha
Sinal negativo: função está decrescendo.
Intervalo 2:
Escolha :
Escolha
Sinal positivo: função está crescendo.
Intervalo 3:
Escolha :
Escolha
Sinal negativo: função está decrescendo.
Resposta
A função
está:
- Decrescendo nos intervalos
e . - Crescendo no intervalo
.
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