Enuncie os testes e prove que as seguintes séries convergem: (Teste da série alternada - calcule a soma com erro de 0,01)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a série para ver se ela converge. A matéria que vamos usar é o Teste da Série Alternada, que ajuda a determinar a convergência de séries que têm termos que mudam de sinal. Além disso, precisamos calcular a soma dessa série com um erro menor que 0,01.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série: . Essa é uma série alternada porque os termos mudam de sinal a cada termo devido ao . Os termos gerais são multiplicados por elevado a .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são positivos.
  2. é uma sequência decrescente e tende a zero conforme aumenta.
No nosso caso, .

Passo 4

Vamos verificar as condições:
  1. é sempre positivo para .
  2. é uma sequência decrescente e .
Como ambas as condições são verdadeiras, a série converge.

Passo 5

Agora, para calcular a soma com um erro menor que 0,01, usamos o fato de que, para séries alternadas convergentes, o erro ao usar a soma parcial é no máximo igual ao primeiro termo que foi omitido. Ou seja, .
Queremos que . Resolvendo:
Então, .

Resposta

A série converge, e a soma parcial fornece uma aproximação com erro menor que 0,01.

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