Enuncie os testes e prove que as seguintes séries convergem:
(Teste da série alternada - calcule a soma com erro de 0,01)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a série
para ver se ela converge. A matéria que vamos usar é o Teste da Série Alternada, que ajuda a determinar a convergência de séries que têm termos que mudam de sinal. Além disso, precisamos calcular a soma dessa série com um erro menor que 0,01.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série:
. Essa é uma série alternada porque os termos mudam de sinal a cada termo devido ao
. Os termos gerais são
multiplicados por
elevado a
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são positivos. -
é uma sequência decrescente e tende a zero conforme aumenta.
No nosso caso,
.
Passo 4
Vamos verificar as condições:
-
é sempre positivo para . -
é uma sequência decrescente e .
Como ambas as condições são verdadeiras, a série
converge.
Passo 5
Agora, para calcular a soma com um erro menor que 0,01, usamos o fato de que, para séries alternadas convergentes, o erro ao usar a soma parcial
é no máximo igual ao primeiro termo que foi omitido. Ou seja,
.
Queremos que
. Resolvendo:
Então,
.
Resposta
A série
converge, e a soma parcial
fornece uma aproximação com erro menor que 0,01.
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.
Responda: Quando uma sequência converge e quando ela diverge?