Aplique o Teorema de Existência e Unicidade (Teorema de Picard) das soluções de um problema de valor inicial (PVI) para provar que existe uma única solução para a equação diferencial y' = raiz(y^2 - 9) passando pelo ponto dado.
(1) 1,4
(2) (2, -3)
(3) (5,3)
(4) (-1, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o Teorema de Existência e Unicidade, também conhecido como Teorema de Picard, para mostrar que existe uma única solução para a equação diferencial passando por cada um dos pontos dados. Vamos precisar entender o que o teorema diz e verificar se as condições dele são atendidas em cada ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Picard. Esse teorema nos diz que para uma equação diferencial da forma com uma condição inicial , existe uma solução única próxima a se a função for contínua e satisfizer a condição de Lipschitz em torno do ponto .

Passo 3

Agora, vamos analisar nossa equação diferencial: . Aqui, .
  • Continuidade: A função está definida e é contínua apenas quando , ou seja, quando .
  • Condição de Lipschitz: Para verificar se satisfaz a condição de Lipschitz, vamos derivar em relação a :
    Essa derivada existe e é contínua desde que , ou seja, .

Passo 4

Vamos verificar cada ponto dado para ver se as condições do Teorema de Picard são atendidas:
  1. Ponto (1, 4):
    • , então .
    • , então é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz.
    • Resultado: Existe uma solução única passando por esse ponto.
  2. Ponto (2, -3):
    • , então .
    • , exatamente no limite onde está definida, mas a derivada não está bem definida (pois denominador zero).
    • Resultado: Não podemos garantir a unicidade da solução nesse ponto.
  3. Ponto (5, 3):
    • , então .
    • , novamente no limite. Similar ao ponto anterior, a derivada não está bem definida.
    • Resultado: Não podemos garantir a unicidade da solução nesse ponto.
  4. Ponto (-1, 1):
    • , então .
    • Nesse caso, não está definida porque a raiz de um n��mero negativo não é real.
    • Resultado: Não existe solução real passando por esse ponto.

Resposta

  1. (1, 4): Existe uma única solução.
  2. (2, -3): Não é garantida a unicidade da solução.
  3. (5, 3): Não é garantida a unicidade da solução.
  4. (-1, 1): Não existe solução real.

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