Aplique o Teorema de Existência e Unicidade (Teorema de Picard) das soluções de um problema de valor inicial (PVI) para provar que existe uma única solução para a equação diferencial
passando pelo ponto dado.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar o Teorema de Existência e Unicidade, também conhecido como Teorema de Picard, para mostrar que existe uma única solução para a equação diferencial
passando por cada um dos pontos dados. Vamos precisar entender o que o teorema diz e verificar se as condições dele são atendidas em cada ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Picard. Esse teorema nos diz que para uma equação diferencial da forma
com uma condição inicial
, existe uma solução única próxima a
se a função
for contínua e satisfizer a condição de Lipschitz em torno do ponto
.
Passo 3
Agora, vamos analisar nossa equação diferencial:
. Aqui,
.
-
Continuidade: A função
está definida e é contínua apenas quando , ou seja, quando . -
Condição de Lipschitz: Para verificar se
satisfaz a condição de Lipschitz, vamos derivar em relação a : Essa derivada existe e é contínua desde que, ou seja, .
Passo 4
Vamos verificar cada ponto dado para ver se as condições do Teorema de Picard são atendidas:
-
Ponto (1, 4):
-
, então . -
, então é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz. - Resultado: Existe uma solução única passando por esse ponto.
-
-
Ponto (2, -3):
-
, então . -
, exatamente no limite onde está definida, mas a derivada não está bem definida (pois denominador zero). - Resultado: Não podemos garantir a unicidade da solução nesse ponto.
-
-
Ponto (5, 3):
-
, então . -
, novamente no limite. Similar ao ponto anterior, a derivada não está bem definida. - Resultado: Não podemos garantir a unicidade da solução nesse ponto.
-
-
Ponto (-1, 1):
-
, então . - Nesse caso,
não está definida porque a raiz de um n��mero negativo não é real. - Resultado: Não existe solução real passando por esse ponto.
-
Resposta
- (1, 4): Existe uma única solução.
- (2, -3): Não é garantida a unicidade da solução.
- (5, 3): Não é garantida a unicidade da solução.
- (-1, 1): Não existe solução real.