Determine a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular com as condições de contorno dadas:
Passo 1
Ok, vamos lá! Você tem uma chapa retangular e quer descobrir qual é a temperatura em cada ponto dela quando ela está em equilíbrio, ou seja, sem mudanças de temperatura ao longo do tempo. Isso envolve entender as condições de contorno que são dadas para as bordas da chapa:
- Na borda x=0, a temperatura é sempre 0.
- Na borda x=1, a temperatura varia de acordo com 1 - y.
- Nas bordas y=0 e y=2, a temperatura é sempre 0.
Para resolver esse problema, vamos usar conceitos de equações diferenciais parciais, especificamente a equação de Laplace, que descreve o equilíbrio térmico em uma região.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que, em estado estacionário, a temperatura
na chapa satisfaz a equação de Laplace:
Isso significa que a soma das segundas derivadas da temperatura em relação a
e
é igual a zero.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o método da separação de variáveis. Isso envolve assumir que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
:
Passo 4
Substituindo
na equação de Laplace, temos:
Dividindo ambos os lados por
, obtemos:
Isso nos leva a:
Onde
é uma constante de separação.
Passo 5
Agora, temos duas equações ordinárias:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Resolvendo a equação para
:
A equação
é uma equação diferencial de segunda ordem com soluções harmonicas. As soluções gerais dependem do sinal de
.
Para satisfazer as condições de contorno de
e
, escolhemos soluções que se anulam nesses pontos. Isso leva a soluções do tipo:
Onde
é um número inteiro positivo, e
.
Passo 7
Com os valores de
, resolvemos a equação para
:
As soluções gerais dessa equação são:
Passo 8
Aplicando a condição de contorno em
:
Isso implica que
, então:
Portanto, a solução para
fica:
Passo 9
Agora, a solução geral para
é uma soma de todas as soluções possíveis:
Passo 10
Aplicamos a condição de contorno em
:
Portanto:
Passo 11
Para encontrar os coeficientes
, usamos a ortogonalidade das funções seno. Multiplicamos ambos os lados por
e integramos de
a
:
Passo 12
Resolvendo a integral à direita usando a identidade trigonométrica
:
Então:
Passo 13
Calculando a integral:
Passo 14
Finalmente, substituindo de volta:
Passo 15
Portanto, a solução para a temperatura em estado estacionário na chapa é:
Resposta
A temperatura de estado estacionário na chapa retangular é dada por: