O potencial elétrico V no ponto (x, y, z) é dado por
V = 6 / ( (x^2 + 4y^2 + 9z^2)^(1/2) )
Descreva as superfícies equipotenciais, isto é, as superfícies de nível de V que representam pontos onde o potencial elétrico é constante.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre potencial elétrico. O enunciado nos dá uma expressão para o potencial elétrico em função das coordenadas , e :
Nosso objetivo é descrever as superfícies equipotenciais, ou seja, as superfícies onde o potencial elétrico é constante. Para isso, vamos precisar entender o que são superfícies equipotenciais e como manipular a fórmula dada para encontrá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que o potencial é constante, digamos , onde é um número fixo. Assim, a equação fica:
Queremos achar a relação entre , e que satisfaz essa igualdade.

Passo 3

Vamos resolver a equação para eliminar a raiz quadrada. Multiplicamos ambos os lados por :

Passo 4

Agora, vamos isolar a raiz:

Passo 5

Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado:

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para deixá-la na forma padrão de uma superfície geométrica:
Simplificando os denominadores:

Passo 7

Dividindo todos os termos por :
Isso mostra que temos a equação de um elipsoide.

Resposta

As superfícies equipotenciais são elipsoides dados por
onde
Para cada valor constante de , temos um elipsoide diferente representando a superfície equipotencial correspondente.

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