Aplique o teorema de Fubini para calcular
onde é o retângulo dado por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla usando o Teorema de Fubini. A integral é:
onde a região é um retângulo definido por e . O Teorema de Fubini nos ajuda a transformar essa integral dupla em duas integrais simples, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral dupla como uma integral iterada. Vou escolher integrar em relação a primeiro e depois em relação a . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral interna, ou seja, a integral em :
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
Como é uma constante em relação a , a primeira parte fica:
Já a segunda parte é uma integral simples:
Então, a integral interna resulta em:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos calcular essa integral dividindo novamente em duas partes:
Primeira parte:
Segunda parte:

Resposta

Somando as duas partes:
Então, a integral dupla é igual a 2.

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Calcule a integral dupla, a seguir, aplicando o teorema de Fubini
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