Aplique o teorema de Fubini para calcular
onde
é o retângulo dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla usando o Teorema de Fubini. A integral é:
onde a região
é um retângulo definido por
e
. O Teorema de Fubini nos ajuda a transformar essa integral dupla em duas integrais simples, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral dupla como uma integral iterada. Vou escolher integrar em relação a
primeiro e depois em relação a
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral interna, ou seja, a integral em
:
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
Como
é uma constante em relação a
, a primeira parte fica:
Já a segunda parte é uma integral simples:
Então, a integral interna resulta em:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos calcular essa integral dividindo novamente em duas partes:
Primeira parte:
Segunda parte:
Resposta
Somando as duas partes:
Então, a integral dupla é igual a 2.
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Aplique o teorema de Green e encontre a integral de linha
onde
é a curva triangular constituida pelos segmentos de retas de
a
, de
a
e de
a
Um campo vetorial
é dado por
. Encontre a função potencial do campo
, isto é, encontre a função tipo escalar
definida no domínio de
tal que
.
Calcule a integral dupla, a seguir, aplicando o teorema de Fubini
Calcule a integral dupla, a seguir, aplicando o teorema de Fubini