Aplique o teorema de Fubini para calcular
integral duplaR(x+y) d x d y
onde R é o retângulo dado por R=1 <= x <= 2,0 <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla usando o Teorema de Fubini. A integral é:
integral duplaR(x+y) , dx , dy
onde a região é um retângulo definido por e . O Teorema de Fubini nos ajuda a transformar essa integral dupla em duas integrais simples, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral dupla como uma integral iterada. Vou escolher integrar em relação a integralx=1^2 ( integraly=0^1 (x + y) , dy ) dx primeiro e depois em relação a . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral interna, ou seja, a integral em integral0^1 (x + y) , dy :
integral0^1 x , dy + integral0^1 y , dy
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
x cdot integral0^1 dy = x cdot (1 - 0) = x
Como integral0^1 y , dy = [ 12 y^2 ]0^1 = 12(1)^2 - 12(0)^2 = 12 é uma constante em relação a x + 12 , a primeira parte fica:
Já a segunda parte é uma integral simples:
Então, a integral interna resulta em:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^2 ( x + 12 ) dx
Vamos calcular essa integral dividindo novamente em duas partes:
integral1^2 x , dx + integral1^2 12 , dx
Primeira parte:
integral1^2 x , dx = [ 12 x^2 ]1^2 = 12(2)^2 - 12(1)^2 = 12(4) - 12(1) = 2 - 0,5 = 1,5
Segunda parte:
integral1^2 12 , dx = 12 (2 - 1) = 12 cdot 1 = 0,5

Resposta

Somando as duas partes:
1,5 + 0,5 = 2
Então, a integral dupla é igual a 2.

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