Calcule a integral dupla, a seguir, aplicando o teorema de Fubini
& (b) integral0^2 integral-1^1 x y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla usando o teorema de Fubini. O enunciado é o seguinte:
integral0^2 integral-1^1 x y^2 , dx , dy
Então, vamos precisar entender o que é uma integral dupla e como aplicar o teorema de Fubini para simplificar esse cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema de Fubini. Esse teorema nos permite calcular uma integral dupla como uma sequência de integrais simples. Ou seja, ao invés de calcular a integral sobre uma região complicada, a gente pode integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra. Isso facilita muito a nossa vida!

Passo 3

Vamos aplicar o teorema de Fubini na nossa integral. Nosso objetivo é calcular:
integral0^2 ( integral-1^1 x y^2 , dx ) dy
Primeiro, vamos integrar em relação a , mantendo como constante.

Passo 4

Calculando a integral interna:
integral-1^1 x y^2 , dx
Como y^2 integral-1^1 x , dx é constante em relação a y^2 [ 12 x^2 ]-1^1 = y^2 ( 12(1)^2 - 12(-1)^2 ) = y^2 ( 12 - 12 ) = y^2 times 0 = 0 , podemos tirar ele da integral:
Agora, vamos integrar em relação a :

Passo 5

Agora que a integral interna deu zero, a nossa integral dupla fica assim:
integral0^2 0 , dy = 0

Resposta

A integral dupla vale 0.

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