Calcule a integral dupla, a seguir, aplicando o teorema de Fubini
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla usando o teorema de Fubini. O enunciado é o seguinte:
Então, vamos precisar entender o que é uma integral dupla e como aplicar o teorema de Fubini para simplificar esse cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema de Fubini. Esse teorema nos permite calcular uma integral dupla como uma sequência de integrais simples. Ou seja, ao invés de calcular a integral sobre uma região complicada, a gente pode integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra. Isso facilita muito a nossa vida!
Passo 3
Vamos aplicar o teorema de Fubini na nossa integral. Nosso objetivo é calcular:
Primeiro, vamos integrar em relação a
, mantendo
como constante.
Passo 4
Calculando a integral interna:
Como
é constante em relação a
, podemos tirar ele da integral:
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Passo 5
Agora que a integral interna deu zero, a nossa integral dupla fica assim:
Resposta
A integral dupla vale 0.
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Aplique o teorema de Fubini para calcular
onde
é o retângulo dado por
.
Inverta a ordem de integração,
onde
é suposta contínua do
.
Use mudança de variável e encontre
onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelas hiperbóles
e
.