Calcule a integral dupla, a seguir, aplicando o teorema de Fubini

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla usando o teorema de Fubini. O enunciado é o seguinte:
Então, vamos precisar entender o que é uma integral dupla e como aplicar o teorema de Fubini para simplificar esse cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema de Fubini. Esse teorema nos permite calcular uma integral dupla como uma sequência de integrais simples. Ou seja, ao invés de calcular a integral sobre uma região complicada, a gente pode integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra. Isso facilita muito a nossa vida!

Passo 3

Vamos aplicar o teorema de Fubini na nossa integral. Nosso objetivo é calcular:
Primeiro, vamos integrar em relação a , mantendo como constante.

Passo 4

Calculando a integral interna:
Como é constante em relação a , podemos tirar ele da integral:
Agora, vamos integrar em relação a :

Passo 5

Agora que a integral interna deu zero, a nossa integral dupla fica assim:

Resposta

A integral dupla vale 0.

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Aplique o teorema de Fubini para calcular
onde é o retângulo dado por .
Inverta a ordem de integração,
onde é suposta contínua do .
Use mudança de variável e encontre
onde é a região do primeiro quadrante limitada pelas hiperbóles e .