Aplique o teorema de Green e encontre a integral de linha
integralgamma x^4 d x+x y d y
onde gamma é a curva triangular constituida pelos segmentos de retas de (0,0) a (1,0), de (1,0) a (0,1) e de (0,1) a (0,0)

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer aqui. Temos que calcular uma integral de linha, que envolve somar certas quantidades ao longo de uma curva. O enunciado nos pede para usar o Teorema de Green, que conecta essa integral de linha a uma integral dupla sobre a região que a curva delimita. Nesse caso, a curva γ é um triângulo formado pelos pontos (0,0), (1,0) e (0,1). Para resolver, vamos identificar as funções na integral de linha e aplicar o Teorema de Green para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções M e N na integral de linha dada:
integralgamma x^4 , dx + x y , dy
Aqui, temos:
  • M = x⁴
  • N = x y
O Teorema de Green nos diz que:
ointgamma M , dx + N , dy = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dx , dy
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de N em relação a x e de M em relação a y.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Npartial x = partialpartial x (x y) = y
E:
partial Mpartial y = partialpartial y (x^4) = 0
Portanto, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Npartial x - partial Mpartial y = y - 0 = y

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região D, que é o triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1). Vamos definir os limites de integração:
  • y varia de 0 a 1.
  • Para cada y, x varia de 0 até 1 - y.
Então, a integral dupla fica:
integral duplaD y , dx , dy = integral0^1 integral0^1 - y y , dx , dy

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em x:
integral0^1 - y y , dx = y cdot (1 - y) = y (1 - y)
Agora, a integral externa em y:
integral0^1 y (1 - y) , dy = integral0^1 (y - y^2) , dy
Calculando:
[ y^22 - y^33 ]0^1 = ( 12 - 13 ) - 0 = 12 - 13 = 16

Resposta

A integral de linha vale dfrac16.

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