Aplique o teorema de Green e encontre a integral de linha
onde é a curva triangular constituida pelos segmentos de retas de a , de a e de a

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer aqui. Temos que calcular uma integral de linha, que envolve somar certas quantidades ao longo de uma curva. O enunciado nos pede para usar o Teorema de Green, que conecta essa integral de linha a uma integral dupla sobre a região que a curva delimita. Nesse caso, a curva γ é um triângulo formado pelos pontos (0,0), (1,0) e (0,1). Para resolver, vamos identificar as funções na integral de linha e aplicar o Teorema de Green para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções M e N na integral de linha dada:
Aqui, temos:
  • M = x⁴
  • N = x y
O Teorema de Green nos diz que:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de N em relação a x e de M em relação a y.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
E:
Portanto, a expressão dentro da integral dupla fica:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região D, que é o triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1). Vamos definir os limites de integração:
  • y varia de 0 a 1.
  • Para cada y, x varia de 0 até 1 - y.
Então, a integral dupla fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em x:
Agora, a integral externa em y:
Calculando:

Resposta

A integral de linha vale .

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