Aplique o teorema de Green e encontre a integral de linha
onde
é a curva triangular constituida pelos segmentos de retas de
a
, de
a
e de
a
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer aqui. Temos que calcular uma integral de linha, que envolve somar certas quantidades ao longo de uma curva. O enunciado nos pede para usar o Teorema de Green, que conecta essa integral de linha a uma integral dupla sobre a região que a curva delimita. Nesse caso, a curva γ é um triângulo formado pelos pontos (0,0), (1,0) e (0,1). Para resolver, vamos identificar as funções na integral de linha e aplicar o Teorema de Green para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções M e N na integral de linha dada:
Aqui, temos:
- M = x⁴
- N = x y
O Teorema de Green nos diz que:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de N em relação a x e de M em relação a y.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
E:
Portanto, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região D, que é o triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1). Vamos definir os limites de integração:
- y varia de 0 a 1.
- Para cada y, x varia de 0 até 1 - y.
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em x:
Agora, a integral externa em y:
Calculando:
Resposta
A integral de linha vale
.
Exercícios relacionados
Um campo vetorial
é dado por
. Encontre a função potencial do campo
, isto é, encontre a função tipo escalar
definida no domínio de
tal que
.
Calcule
, onde
consiste no segmento de reta
de
a
, seguindo pelo segmento de reta vertical
de
a
.
Aplique o teorema de Fubini para calcular
onde
é o retângulo dado por
.
Calcule a integral dupla, a seguir, aplicando o teorema de Fubini