Calcule a integral dupla, a seguir, aplicando o teorema de Fubini
& (a) integral-1^1 integral0^2 x y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando o Teorema de Fubini. A gente tem que calcular:
integral-1^1 integral0^2 x y^2 , dx , dy
Isso significa que vamos integrar a função primeiro em relação a de 0 a 2, e depois em relação a de -1 a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a . Quando fazemos isso, tratamos como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

A integral de integral x y^2 , dx = 12 x^2 y^2 + C em relação a é:
Onde é a constante de integração, que não precisamos nos preocupar agora.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa antiderivada de 12 x^2 y^2 |0^2 = 12 (2)^2 y^2 - 12 (0)^2 y^2 = 2 y^2 a :

Passo 5

Agora que temos integral-1^1 2 y^2 , dy , vamos integrar isso em relação a de -1 a 1:

Passo 6

A integral de 2 integral y^2 , dy = 2 ( 13 y^3 ) + C = 23 y^3 + C em relação a 23 y^3 |-1^1 = 23(1)^3 - 23(-1)^3 = 23 - ( -23 ) = 43 é:
Vamos avaliar de a :

Resposta

A integral dupla vale .

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