Um campo vetorial é dado por . Encontre a função potencial do campo , isto é, encontre a função tipo escalar definida no domínio de tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma função potencial para o campo vetorial . Isso significa que precisamos achar uma função escalar tal que o gradiente dela seja igual a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, principalmente sobre campos conservativos e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se uma função é potencial para o campo , então as derivadas parciais de devem satisfazer:
Vamos integrar a primeira equação em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende apenas de , já que ao integrar em relação a , qualquer termo que dependa somente de aparece como constante.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a e igualar à segunda equação:
Isso nos dá:
Mas observe que depende apenas de , enquanto os outros termos envolvem . Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de e , os termos dependentes de devem se anular, ou seja:
Isso só é válido para ou , mas queremos que a igualdade seja verdadeira para qualquer .

Passo 4

Como a igualdade só funciona para valores específicos de , isso significa que não existe uma função que satisfaça a equação para todos os e . Portanto, o campo vetorial não é conservativo.

Passo 5

Um campo vetorial que não é conservativo não possui uma função potencial. Ou seja, não existe uma função escalar tal que para todo ponto no domínio.

Resposta

Não existe uma função potencial para o campo vetorial dado, pois não é conservativo.

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