Aplique o teorema de Fubini para calcular o volume do conjunto R, em que
R = {(x, y, z) ; 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1 e 0 <= z <= x^2 + y^2}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume do conjunto definido por:
Aqui, a matéria que vamos usar é o Teorema de Fubini, que permite a gente calcular volumes (ou outros tipos de integrais múltiplas) utilizando integrais iteradas. Então, precisamos montar uma integral tripla que vai integrar uma função constante (no caso, 1) sobre a região .

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Olhando para :
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , também varia de 0 a 1.
  • Para cada par , varia de 0 até .
Então, a integral tripla fica assim:

Passo 3

Vamos resolver a integral de dentro para fora.
  1. Integral em :
  1. Agora, a integral em :
  1. Por fim, a integral em :

Resposta

O volume do conjunto é .

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