Determine a área da região
no plano
limitada pela curva
.
Passo 1
Nesta questão, precisamos determinar a área da região
no plano
limitada pela curva definida por
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente relacionados a curvas cônicas e transformações de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a equação dada para simplificá-la e identificar o tipo de curva que estamos lidando:
Passo 3
Expandindo cada termo ao quadrado:
Passo 4
Agora, somamos as duas expansões:
Simplificando os termos semelhantes:
Subtraindo 14 de ambos os lados:
Passo 5
Esta é a equação geral de uma cônica:
Para identificar o tipo de cônica, calculamos o discriminante
:
Como
, sabemos que a curva é uma elipse.
Passo 6
Para simplificar a equação da elipse, precisamos eliminar o termo
. Isso é feito através de uma rotação dos eixos. O ângulo de rotação
é dado por:
Portanto:
Passo 7
Aplicamos a transformação de coordenadas para eliminar o termo
:
Substituindo na equação original e simplificando, obtemos uma nova equação sem o termo
:
Passo 8
Completa-se o quadrado para ambas as variáveis:
Adicionando e subtraindo os termos necessários para completar o quadrado:
Passo 9
Dividimos ambos os lados pela constante obtida para colocar a equação na forma padrão da elipse:
Onde
e
são os semi-eixos da elipse.
Passo 10
A área da elipse é dada por:
Após calcular
e
a partir da equação padrão, substituímos seus valores nesta fórmula para obter a área desejada.
Resposta
A área da região
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Aplique o teorema de Fubini para calcular o volume do conjunto
, em que
Use mudança de variável e encontre
onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelas hiperbóles
e
.
Use mudança de variável e encontre
onde
é o triângulo de vértices
e
.
Suponha que uma lâmina com densidade
ocupe a região
do plano
. Calcule a massa total
e as coordenadas
do centro de massa de
, em que