Determine a área da região no plano limitada pela curva .

Passo 1

Nesta questão, precisamos determinar a área da região no plano limitada pela curva definida por . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente relacionados a curvas cônicas e transformações de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a equação dada para simplificá-la e identificar o tipo de curva que estamos lidando:

Passo 3

Expandindo cada termo ao quadrado:

Passo 4

Agora, somamos as duas expansões:
Simplificando os termos semelhantes:
Subtraindo 14 de ambos os lados:

Passo 5

Esta é a equação geral de uma cônica:
Para identificar o tipo de cônica, calculamos o discriminante :
Como , sabemos que a curva é uma elipse.

Passo 6

Para simplificar a equação da elipse, precisamos eliminar o termo . Isso é feito através de uma rotação dos eixos. O ângulo de rotação é dado por:
Portanto:

Passo 7

Aplicamos a transformação de coordenadas para eliminar o termo :
Substituindo na equação original e simplificando, obtemos uma nova equação sem o termo :

Passo 8

Completa-se o quadrado para ambas as variáveis:
Adicionando e subtraindo os termos necessários para completar o quadrado:

Passo 9

Dividimos ambos os lados pela constante obtida para colocar a equação na forma padrão da elipse:
Onde e são os semi-eixos da elipse.

Passo 10

A área da elipse é dada por:
Á
Após calcular e a partir da equação padrão, substituímos seus valores nesta fórmula para obter a área desejada.

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Aplique o teorema de Fubini para calcular o volume do conjunto , em que
Use mudança de variável e encontre
onde é a região do primeiro quadrante limitada pelas hiperbóles e .
Use mudança de variável e encontre
onde é o triângulo de vértices e .
Suponha que uma lâmina com densidade ocupe a região do plano . Calcule a massa total e as coordenadas do centro de massa de , em que