Inverta a ordem de integração,
integral0^1 integralx^raiz2-x^2 f(x, y) d y d x
onde f(x, y) é suposta contínua do R^2.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos uma integral dupla:
integral0^1 integralx^raiz2-x^2 f(x, y) , dy , dx
E precisamos inverter a ordem de integração, ou seja, reescrever a integral integrando primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, vamos precisar entender a região de integração no plano e determinar os novos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. A integral original integra de a e depois de 0 a 1. Isso significa que, para cada entre 0 e 1, varia de até .

Passo 3

Vamos descrever a região 0 <= x <= 1 onde a integração ocorre. Ela está definida por:
x <= y <= raiz2 - x^2
e
Para inverter a ordem da integração, precisamos expressar em termos de . Ou seja, para cada , determinar os valores de que satisfazem a desigualdade .

Passo 4

Primeiro, identificamos os limites de x = raiz2 - x^2 . Observando as desigualdades:
  1. x^2 = 2 - x^2
  2. 2x^2 = 2
Vamos encontrar os valores de x^2 = 1 implies x = 1 (já que x >= 0) onde essas duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos a :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
á
Portanto, o valor máximo de é quando , que dá .
Então, varia de 0 a .

Passo 5

Agora, para cada y^2 <= 2 - x^2 implies x^2 <= 2 - y^2 implies x <= raiz2 - y^2 no intervalo y <= raiz2 - y^2 implies y^2 <= 2 - y^2 implies 2y^2 <= 2 implies y^2 <= 1 implies y <= 1 , vamos determinar os limites de . Sabemos que e .
Vamos resolver a segunda desigualdade :
Assim, para cada , varia de 0 a .
No entanto, precisamos encontrar para quais valores de , . Resolvendo:
Portanto, para , varia de 0 a .
Para , varia de 0 a .

Passo 6

Então, podemos dividir a integral invertida em duas partes para cobrir todo o intervalo de x ) varia de 0 a ( y :
  1. Para x ) varia de 0 a ( raiz2 - y^2 de 0 a 1:
  1. Para de 1 a :

Passo 7

Agora, podemos escrever a integral com a ordem de integração invertida:
integral0^1 integral0^y f(x, y) , dx , dy + integral1^raiz2 integral0^raiz2 - y^2 f(x, y) , dx , dy

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida é:
integral0^1 integral0^y f(x, y) , dx , dy + integral1^raiz2 integral0^raiz2 - y^2 f(x, y) , dx , dy

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