Inverta a ordem de integração,
onde
é suposta contínua do
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos uma integral dupla:
E precisamos inverter a ordem de integração, ou seja, reescrever a integral integrando primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para isso, vamos precisar entender a região de integração no plano
e determinar os novos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. A integral original integra
de
a
e depois
de 0 a 1. Isso significa que, para cada
entre 0 e 1,
varia de
até
.
Passo 3
Vamos descrever a região
onde a integração ocorre. Ela está definida por:
e
Para inverter a ordem da integração, precisamos expressar
em termos de
. Ou seja, para cada
, determinar os valores de
que satisfazem a desigualdade
.
Passo 4
Primeiro, identificamos os limites de
. Observando as desigualdades:
Vamos encontrar os valores de
onde essas duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos
a
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Portanto, o valor máximo de
é
quando
, que dá
.
Então,
varia de 0 a
.
Passo 5
Agora, para cada
no intervalo
, vamos determinar os limites de
. Sabemos que
e
.
Vamos resolver a segunda desigualdade
:
Assim, para cada
,
varia de 0 a
.
No entanto, precisamos encontrar para quais valores de
,
. Resolvendo:
Portanto, para
,
varia de 0 a
.
Para
,
varia de 0 a
.
Passo 6
Então, podemos dividir a integral invertida em duas partes para cobrir todo o intervalo de
:
- Para
de 0 a 1:
- Para
de 1 a :
Passo 7
Agora, podemos escrever a integral com a ordem de integração invertida:
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral dupla, a seguir, aplicando o teorema de Fubini
Calcule a integral dupla, a seguir, aplicando o teorema de Fubini
Use mudança de variável e encontre
onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelas hiperbóles
e
.
Aplique o teorema de Fubini para calcular o volume do conjunto
, em que