Use mudança de variável e encontre
onde é a região do primeiro quadrante limitada pelas hiperbóles e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre uma região no primeiro quadrante. A região é delimitada pelas hipérboles , , e . Para resolver isso, vamos usar mudança de variável, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em outra coordenada que facilita o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma mudança de variável que simplifica as hipérboles que delimitam a região. Observamos que as hipérboles são dadas por e . Então, vamos definir novas variáveis:
Assim, nossa região no novo sistema será mais simples de descrever.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o determinante jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis na integral. Calculamos as derivadas parciais de e em relação a e .
Primeiro, expressamos e em termos de e . Para isso, partimos das equações:
Para simplificar, podemos resolver essas equações para e , mas vamos direto para o jacobiano.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
Então, a matriz jacobiana é:
O determinante jacobiano é:

Passo 5

Precisamos expressar em termos de e . Sabemos que:
Somando com , temos:
Mas para simplificar, vamos observar que a integral já contém , que aparece no determinante jacobiano. Então, vamos reescrever a integral usando a mudança de variável.

Passo 6

A integral original é:
Após a mudança de variável, isso se torna:
Isso simplifica bastante, pois agora só precisamos calcular a área da nova região .

Passo 7

Vamos determinar os limites para e . A região é limitada por:
Portanto, a nova região é um retângulo no plano com esses limites.

Passo 8

Agora, calculamos a integral:

Resposta

A integral dupla vale 8.

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Determine a área da região no plano limitada pela curva .