Use mudança de variável e encontre
onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelas hiperbóles
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de
sobre uma região
no primeiro quadrante. A região
é delimitada pelas hipérboles
,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar mudança de variável, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em outra coordenada que facilita o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma mudança de variável que simplifica as hipérboles que delimitam a região. Observamos que as hipérboles são dadas por
e
. Então, vamos definir novas variáveis:
Assim, nossa região
no novo sistema será mais simples de descrever.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o determinante jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis na integral. Calculamos as derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Primeiro, expressamos
e
em termos de
e
. Para isso, partimos das equações:
Para simplificar, podemos resolver essas equações para
e
, mas vamos direto para o jacobiano.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais:
Então, a matriz jacobiana é:
O determinante jacobiano é:
Passo 5
Precisamos expressar
em termos de
e
. Sabemos que:
Somando
com
, temos:
Mas para simplificar, vamos observar que a integral já contém
, que aparece no determinante jacobiano. Então, vamos reescrever a integral usando a mudança de variável.
Passo 6
A integral original é:
Após a mudança de variável, isso se torna:
Isso simplifica bastante, pois agora só precisamos calcular a área da nova região
.
Passo 7
Vamos determinar os limites para
e
. A região
é limitada por:
Portanto, a nova região
é um retângulo no plano
com esses limites.
Passo 8
Agora, calculamos a integral:
Resposta
A integral dupla vale 8.
Exercícios relacionados
Inverta a ordem de integração,
onde
é suposta contínua do
.
Calcule a integral dupla, a seguir, aplicando o teorema de Fubini
Aplique o teorema de Fubini para calcular o volume do conjunto
, em que
Determine a área da região
no plano
limitada pela curva
.