Use mudança de variável e encontre
integral duplaR x^2+y^2 d x d y
onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas hiperbóles x^2-y^2=1, x^2-y^2=9, x y=2 e x y=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre uma região no primeiro quadrante. A região é delimitada pelas hipérboles , , e . Para resolver isso, vamos usar mudança de variável, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em outra coordenada que facilita o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma mudança de variável que simplifica as hipérboles que delimitam a região. Observamos que as hipérboles são dadas por u = x^2 - y^2, v = xy e . Então, vamos definir novas variáveis:
Assim, nossa região no novo sistema será mais simples de descrever.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o determinante jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis na integral. Calculamos as derivadas parciais de u = x^2 - y^2, v = xy e em relação a e .
Primeiro, expressamos e em termos de e . Para isso, partimos das equações:
Para simplificar, podemos resolver essas equações para e , mas vamos direto para o jacobiano.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
partial upartial x = 2x, partial upartial y = -2y
partial vpartial x = y, partial vpartial y = x
Então, a matriz jacobiana é:
J = 2x & -2y y & x
O determinante jacobiano é:
|J| = (2x)(x) - (-2y)(y) = 2x^2 + 2y^2 = 2(x^2 + y^2)

Passo 5

Precisamos expressar u = x^2 - y^2 e v = xy em termos de x^2 + y^2 = u + 2y^2 e . Sabemos que:
Somando com , temos:
Mas para simplificar, vamos observar que a integral já contém , que aparece no determinante jacobiano. Então, vamos reescrever a integral usando a mudança de variável.

Passo 6

A integral original é:
integral duplaR (x^2 + y^2) , dx , dy
Após a mudança de variável, isso se torna:
integral duplaR' (x^2 + y^2) cdot 12(x^2 + y^2) , du , dv = 12 integral duplaR' du , dv
Isso simplifica bastante, pois agora só precisamos calcular a área da nova região .

Passo 7

Vamos determinar os limites para 1 <= u <= 9 e 2 <= v <= 4 e . A região é limitada por:
Portanto, a nova região é um retângulo no plano com esses limites.

Passo 8

Agora, calculamos a integral:
12 integralu=1^9 integralv=2^4 dv , du = 12 integral1^9 (4 - 2) , du = 12 integral1^9 2 , du = 12 cdot 2 cdot (9 - 1) = 8

Resposta

A integral dupla vale 8.

Exercícios relacionados