Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o integral duplo
onde a região é um triângulo com vértices em , e . Vamos usar uma mudança de variável para facilitar a conta. Para isso, vamos precisar entender bem a região e escolher uma transformação que simplifique tanto os limites de integração quanto a própria função que estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . É um triângulo no primeiro quadrante com base no eixo de a e a altura variando de a (já que o vértice superior está em ). Então, podemos descrever os limites de integração assim:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma troca de variável para simplificar a integral. Observando a função , que lembra a distância do ponto à origem, uma boa ideia é usar coordenadas polares. Mas, como a região é um triângulo, vamos optar por uma transformação mais direta:
Vamos definir:
Isso implica que:
Passo 4
Precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar a área. O Jacobiano é dado por:
Então, o fator de escala é .
Passo 5
Vamos reescrever a integral usando as novas variáveis integral duplaR raizx^2 + y^2 , dx , dy = integral0^1 integral0^1 raizu^2 + (u v)^2 cdot u , dv , du e raizu^2 + u^2 v^2 = u raiz1 + v^2 :
integral0^1 integral0^1 u cdot raiz1 + v^2 cdot u , dv , du = integral0^1 u^2 ( integral0^1 raiz1 + v^2 , dv ) du
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral interna:
integral0^1 raiz1 + v^2 , dv
A antiderivada de v2 raiz1 + v^2 + 12 sinh^-1(v) + C é: