Use mudança de variável e encontre
integral duplaR raizx^2+y^2 d x d y
onde R é o triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o integral duplo
integral duplaR raizx^2+y^2 , dx , dy
onde a região é um triângulo com vértices em , e . Vamos usar uma mudança de variável para facilitar a conta. Para isso, vamos precisar entender bem a região e escolher uma transformação que simplifique tanto os limites de integração quanto a própria função que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região 0 <= x <= 1 0 <= y <= x . É um triângulo no primeiro quadrante com base no eixo de a e a altura variando de a (já que o vértice superior está em ). Então, podemos descrever os limites de integração assim:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma troca de variável para simplificar a integral. Observando a função u = x v = yx , que lembra a distância do ponto y = u cdot v dy = u , dv (mantendo u constante quando derivamos em relação a v) à origem, uma boa ideia é usar coordenadas polares. Mas, como a região é um triângulo, vamos optar por uma transformação mais direta:
Vamos definir:
Isso implica que:
çã

Passo 4

Precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar a área. O Jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 1 & 0 v & u = 1 cdot u - 0 cdot v = u é dado por:
Então, o fator de escala é .

Passo 5

Vamos reescrever a integral usando as novas variáveis integral duplaR raizx^2 + y^2 , dx , dy = integral0^1 integral0^1 raizu^2 + (u v)^2 cdot u , dv , du e raizu^2 + u^2 v^2 = u raiz1 + v^2 :
integral0^1 integral0^1 u cdot raiz1 + v^2 cdot u , dv , du = integral0^1 u^2 ( integral0^1 raiz1 + v^2 , dv ) du
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos calcular a integral interna:
integral0^1 raiz1 + v^2 , dv
A antiderivada de v2 raiz1 + v^2 + 12 sinh^-1(v) + C é:
[ v2 raiz1 + v^2 + 12 ln (v + raiz1 + v^2) ]0^1 = raiz22 + 12 ln (1 + raiz2)
Avaliando de a :

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^1 u^2 ( raiz22 + 12 ln (1 + raiz2) ) du = ( raiz22 + 12 ln (1 + raiz2) ) integral0^1 u^2 , du
Calculando [ u^33 ]0^1 = 13 :
( raiz22 + 12 ln (1 + raiz2) ) cdot 13 = raiz26 + 16 ln (1 + raiz2)
Então, temos:

Resposta

O valor do integral é:
raiz26 + 16 ln (1 + raiz2)

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