Aplique o Teorema Fundamental do cálculo para calcular a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema é uma ponte entre derivadas e integrais, mostrando que calcular uma integral definida está ligado a encontrar uma antiderivada da função. Para resolver isso, precisamos saber como achar a antiderivada de e depois aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar . Sabemos que é o mesmo que . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada de . A regra para integrar uma potência de é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Então:
Aqui, é a constante de integração que não precisamos considerar para a integral definida.

Passo 4

Agora que temos a antiderivada, aplicamos os limites de 0 a 49. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo:

Passo 5

Vamos calcular isso substituindo 49 e 0 na antiderivada:
Para :
Sabemos que , então . Então:
Para :

Resposta

A integral vale ou aproximadamente .

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Calcule , onde