Aplique o Teorema Fundamental do cálculo para calcular a integral. integral0^49 raizt d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema é uma ponte entre derivadas e integrais, mostrando que calcular uma integral definida está ligado a encontrar uma antiderivada da função. Para resolver isso, precisamos saber como achar a antiderivada de e depois aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar integral0^49 t^1/2 , dt . Sabemos que é o mesmo que . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada de integral t^1/2 , dt = t^(1/2)+1(1/2)+1 + C = t^3/23/2 + C = 23 t^3/2 + C . A regra para integrar uma potência de é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Então:
Aqui, é a constante de integração que não precisamos considerar para a integral definida.

Passo 4

Agora que temos a antiderivada, aplicamos os limites de 0 a 49. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral0^49 raizt , dt = [ 23 t^3/2 ]0^49

Passo 5

Vamos calcular isso substituindo 49 e 0 na antiderivada:
Para 23 times 49^3/2 :
23 times 343 = 6863
Sabemos que 23 times 0^3/2 = 0 , então . Então:
Para :

Resposta

A integral vale ou aproximadamente .

Exercícios relacionados