Aplique o Teorema Fundamental do cálculo para calcular a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema é uma ponte entre derivadas e integrais, mostrando que calcular uma integral definida está ligado a encontrar uma antiderivada da função. Para resolver isso, precisamos saber como achar a antiderivada de
e depois aplicar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar
. Sabemos que
é o mesmo que
. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a antiderivada de
. A regra para integrar uma potência de
é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Então:
Aqui,
é a constante de integração que não precisamos considerar para a integral definida.
Passo 4
Agora que temos a antiderivada, aplicamos os limites de 0 a 49. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 5
Vamos calcular isso substituindo 49 e 0 na antiderivada:
Para
:
Sabemos que
, então
. Então:
Para
:
Resposta
A integral
vale
ou aproximadamente
.
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Calcule
, onde