Calcule integral-pi^pi f(x) d x, onde
f(x)= x^2, & se -pi <= x<0 sen x, & se 0 <= x <= pi

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de de a , onde é uma função por partes: para e para . Vamos usar os conceitos de integrais definidas e funções por partes para resolver isso.

Passo 2

Como a função integral-pi^pi f(x) , dx = integral-pi^0 x^2 , dx + integral0^pi sen x , dx é definida por partes, a integral de a pode ser dividida em duas integrais separadas:

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral: integral-pi^0 x^2 , dx = [ x^33 ]-pi^0 = 0^33 - (-pi)^33 = 0 - ( -pi^33 ) = pi^33 .
A antiderivada de é . Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda integral: .
A antiderivada de é integral0^pi sen x , dx = [ -cos x ]0^pi = -cos(pi) - (-cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2 . Então,

Resposta

Somando as duas integrais, temos:
integral-pi^pi f(x) , dx = pi^33 + 2

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