Aplique o Teorema Fundamental do Cálculo para determinar a derivada da função. F(x)=integralx^7 sen u^7 d u

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada da função . Basicamente, vamos precisar entender como o Teorema nos ajuda a derivar uma integral quando os limites envolvem a variável .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que diz o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1. Ele nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limites variáveis, como F'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) , então a derivada de em relação a é:
No nosso caso, a integral é . Aqui, o limite inferior é e o limite superior é .

Passo 3

Vamos identificar cada parte para aplicar a fórmula:
  • então
  • então (já que 7 é uma constante)

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema, temos:
F'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Substituindo os valores:

Passo 5

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada de F'(x) = -sen(x^7) é:

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