Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão é calcular
. A matéria que vamos usar aqui envolve limites, logaritmos e propriedades de exponenciais. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como manipular expressões que têm potências e logaritmos quando x cresce sem limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão dentro do limite. Quando x fica muito grande, o termo “1” dentro de “(1 + 2x)” se torna quase insignificante comparado a “2x”. Então, podemos aproximar:
Isso simplifica nosso limite para:
Passo 3
Agora, para facilitar o cálculo do limite, vamos aplicar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados. Lembrando que se
, então
, desde que
.
Então, vamos chamar nosso limite de L:
Aplicando o ln:
Passo 4
Usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos simplificar:
Passo 5
Vamos agora dividir o logaritmo:
Substituindo na expressão:
Passo 6
Distribuindo a fração:
Simplificando cada termo:
Passo 7
Agora, analisamos os limites individuais:
-
porque o denominador cresce sem limites enquanto o numerador permanece constante. -
Portanto:
Passo 8
Agora, para encontrar L, basta aplicar a função exponencial em ambos os lados:
Resposta
O limite é
, ou seja,
.
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.
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Seja