Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.
(b) lim x infty(1+2 x)^12 ln (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão é calcular lim x infty(1+2 x)^12 ln (x). A matéria que vamos usar aqui envolve limites, logaritmos e propriedades de exponenciais. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como manipular expressões que têm potências e logaritmos quando x cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão dentro do limite. Quando x fica muito grande, o termo “1” dentro de “(1 + 2x)” se torna quase insignificante comparado a “2x”. Então, podemos aproximar:
1 + 2x approx 2x quando x infty.
Isso simplifica nosso limite para:
lim x infty(2x)^12 ln (x)

Passo 3

Agora, para facilitar o cálculo do limite, vamos aplicar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados. Lembrando que se L = limx to infty f(x), então ln L = limx to infty ln f(x), desde que L > 0.
Então, vamos chamar nosso limite de L:
L = lim x infty(2x)^12 ln (x)
Aplicando o ln:
ln L = lim x infty ln ( (2x)^12 ln (x) )

Passo 4

Usando a propriedade dos logaritmos que diz ln(a^b) = b cdot ln(a), podemos simplificar:
ln L = lim x infty 12 ln (x) cdot ln(2x)

Passo 5

Vamos agora dividir o logaritmo:
ln(2x) = ln 2 + ln x
Substituindo na expressão:
ln L = lim x infty 12 ln (x) cdot (ln 2 + ln x)

Passo 6

Distribuindo a fração:
ln L = lim x infty ( ln 22 ln x + ln x2 ln x )
Simplificando cada termo:
ln L = lim x infty ( ln 22 ln x + 12 )

Passo 7

Agora, analisamos os limites individuais:
  1. lim x infty ln 22 ln x = 0 porque o denominador cresce sem limites enquanto o numerador permanece constante.
  2. lim x infty 12 = 12
Portanto:
ln L = 0 + 12 = 12

Passo 8

Agora, para encontrar L, basta aplicar a função exponencial em ambos os lados:
L = e^ln L = e^12

Resposta

O limite é e^12, ou seja, raize.

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