Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão é calcular . A matéria que vamos usar aqui envolve limites, logaritmos e propriedades de exponenciais. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como manipular expressões que têm potências e logaritmos quando x cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão dentro do limite. Quando x fica muito grande, o termo “1” dentro de “(1 + 2x)” se torna quase insignificante comparado a “2x”. Então, podemos aproximar:
quando .
Isso simplifica nosso limite para:

Passo 3

Agora, para facilitar o cálculo do limite, vamos aplicar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados. Lembrando que se , então , desde que .
Então, vamos chamar nosso limite de L:
Aplicando o ln:

Passo 4

Usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos simplificar:

Passo 5

Vamos agora dividir o logaritmo:
Substituindo na expressão:

Passo 6

Distribuindo a fração:
Simplificando cada termo:

Passo 7

Agora, analisamos os limites individuais:
  1. porque o denominador cresce sem limites enquanto o numerador permanece constante.
Portanto:

Passo 8

Agora, para encontrar L, basta aplicar a função exponencial em ambos os lados:

Resposta

O limite é , ou seja, .

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Resolva as indeterminações abaixo usando a Regra de L(a)
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Aplique o Teorema Fundamental do Cálculo para determinar a derivada da função.
Seja
é derivável em 2? Por quê?