Resolva as indeterminações abaixo usando a Regra de L(a)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos resolver o limite
. Esse tipo de limite apresenta uma indeterminação do tipo
. Para resolver isso, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é uma técnica para resolver limites que resultam em indeterminações. Vamos precisar conhecer as derivadas do numerador e do denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a indeterminação substituindo
na expressão:
- Numerador:
- Denominador:
Como tanto o numerador quanto o denominador resultam em zero, temos uma indeterminação do tipo
e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital nos diz que, se
resulta em
ou
, então podemos calcular esse limite derivando o numerador e o denominador separadamente. Ou seja:
desde que o limite da direita exista.
Passo 4
Vamos agora encontrar as derivadas do numerador e do denominador:
-
Numerador:
- Derivada:
- Derivada:
-
Denominador:
- Derivada:
- Derivada:
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital, substituímos as derivadas no limite:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da região limitada pelas funções e determine a área da região por meio de integrais.
.
Mostre por meio de um exemplo que
pode existir mesmo
e
não existam.
Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.
(b)
(b)
Aplique o Teorema Fundamental do Cálculo para determinar a derivada da função.