Seja
é derivável em 2? Por quê?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente recebeu uma função definida por partes e precisa descobrir se ela é derivável no ponto . Basicamente, isso quer dizer se a derivada (a inclinação da curva) existe exatamente nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada e como ela se comporta em funções definidas por partes. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função:
Queremos saber se tem uma derivada em . Para isso, precisamos verificar se as derivadas da esquerda e da direita em são iguais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da esquerda ( ):
Para , . A derivada dessa parte é simplesmente a derivada de , que é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada da direita ( ):
Para , . A derivada dessa parte é a derivada de uma constante, que é:

Passo 5

Com as duas derivadas calculadas, vemos que:
Como , as derivadas laterais não são iguais.

Resposta

A função não é derivável em porque as derivadas pela esquerda e pela direita nesse ponto são diferentes.

Exercícios relacionados

Aplique o Teorema Fundamental do Cálculo para determinar a derivada da função.
Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.
(b)
Seja . Determine o(s) ponto(s) do gráfico que que tem reta tangente ortogonal à reta .
Dê exemplo, por meio de um gráfico, de uma função definida, definida e derivável em , tal que para para e para .