Seja
é derivável em 2? Por quê?
Passo 1
Então, vamos lá! A gente recebeu uma função definida por partes e precisa descobrir se ela é derivável no ponto
. Basicamente, isso quer dizer se a derivada (a inclinação da curva) existe exatamente nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é derivada e como ela se comporta em funções definidas por partes. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função:
Queremos saber se
tem uma derivada em
. Para isso, precisamos verificar se as derivadas da esquerda e da direita em
são iguais.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da esquerda (
):
Para
,
. A derivada dessa parte é simplesmente a derivada de
, que é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada da direita (
):
Para
,
. A derivada dessa parte é a derivada de uma constante, que é:
Passo 5
Com as duas derivadas calculadas, vemos que:
Como
, as derivadas laterais não são iguais.
Resposta
A função
não é derivável em
porque as derivadas pela esquerda e pela direita nesse ponto são diferentes.
Exercícios relacionados
Aplique o Teorema Fundamental do Cálculo para determinar a derivada da função.
Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.
(b)
(b)
Seja
. Determine o(s) ponto(s) do gráfico que
que tem reta tangente ortogonal à reta
.
Dê exemplo, por meio de um gráfico, de uma função
definida, definida e derivável em
, tal que
para
para
e
para
.