Seja . Determine o(s) ponto(s) do gráfico que que tem reta tangente ortogonal à reta .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar os pontos no gráfico dela onde a reta tangente é perpendicular à reta . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas (para achar a inclinação da tangente) e de geometria analítica (para entender a perpendicularidade das retas).

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a inclinação da reta . Essa equação está na forma , onde é a inclinação. Aqui, .

Passo 3

Sabendo que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for , precisamos encontrar a derivada de para saber a inclinação da tangente em qualquer ponto.
Vamos calcular :
Usando a regra do produto e a regra da potência:
Vamos simplificar:

Passo 4

Agora, sabemos que a inclinação da reta tangente deve ser perpendicular à inclinação da reta dada. Ou seja:
Substituindo :
Simplificando:
Resolvendo para :
Então:
ou

Passo 5

Agora que temos os valores de , vamos encontrar os correspondentes valores de usando a função :
Para :
Para :

Resposta

Os pontos no gráfico de onde a reta tangente é perpendicular à reta são e .

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Seja
é derivável em 2? Por quê?
Aplique o Teorema Fundamental do Cálculo para determinar a derivada da função.
Dê exemplo, por meio de um gráfico, de uma função definida, definida e derivável em , tal que para para e para .
Seja
Esboce o gráfico de .