Seja
. Determine o(s) ponto(s) do gráfico que
que tem reta tangente ortogonal à reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar os pontos no gráfico dela onde a reta tangente é perpendicular à reta
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas (para achar a inclinação da tangente) e de geometria analítica (para entender a perpendicularidade das retas).
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a inclinação da reta
. Essa equação está na forma
, onde
é a inclinação. Aqui,
.
Passo 3
Sabendo que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for
, precisamos encontrar a derivada de
para saber a inclinação da tangente em qualquer ponto.
Vamos calcular
:
Usando a regra do produto e a regra da potência:
Vamos simplificar:
Passo 4
Agora, sabemos que a inclinação da reta tangente deve ser perpendicular à inclinação da reta dada. Ou seja:
Substituindo
:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Então:
ou
Passo 5
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar os correspondentes valores de
usando a função
:
Para
:
Para
:
Resposta
Os pontos no gráfico de
onde a reta tangente é perpendicular à reta
são
e
.
Exercícios relacionados
Seja
Aplique o Teorema Fundamental do Cálculo para determinar a derivada da função.
Dê exemplo, por meio de um gráfico, de uma função
definida, definida e derivável em
, tal que
para
para
e
para
.
Seja
Esboce o gráfico de
.