Aplique o teorema da mudança de variáveis para calcular o volume do toro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o teorema da mudança de variáveis para calcular o volume de um toro. Isso envolve um pouco de cálculo multivariável, especialmente integrais múltiplas. Vamos precisar entender como parametrizar o toro e aplicar o teorema para mudar as coordenadas de forma que a integral fique mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um toro. Imagine uma rosquinha tridimensional, que é basicamente um círculo girando ao redor de um eixo. Para parametrizar o toro, usamos duas variáveis angulares: uma para o “giro” maior (ao redor do eixo central) e outra para o “giro” menor (o próprio círculo da rosquinha).
Então, podemos definir as coordenadas cartesianas do toro em termos dos ângulos e da seguinte maneira:
Aqui, é a distância do centro do tubo do toro ao eixo de rotação, e é o raio do próprio tubo.

Passo 3

Agora, para calcular o volume usando o teorema da mudança de variáveis, precisamos achar o jacobiano dessa transformação. O jacobiano nos ajuda a converter a integral no novo sistema de coordenadas.
Calculando as derivadas parciais:
Após calcular essas derivadas, encontramos que o determinante do jacobiano é:

Passo 4

Com o jacobiano em mãos, podemos expressar o volume do toro como uma dupla integral sobre os parâmetros e :
Substituindo o valor de :

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :
Sabemos que:
Portanto:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado na integral externa, em relação a :

Resposta

O volume do toro é , onde é a distância do centro do tubo ao eixo de rotação e é o raio do tubo.

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