Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente precisa encontrar as derivadas de primeira ordem da função
. Pra isso, vamos usar as regras de derivação para funções de várias variáveis, especificamente as derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, que é representada por
. Para derivar essa função, vamos aplicar a regra da cadeia. A função interna aqui é
.
Passo 3
A derivada da função logarítmica
em relação a
é
. Então, aplicando a regra da cadeia, temos:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 5
Substituindo
na equação da derivada parcial:
Passo 6
Agora, vamos simplificar essa expressão. Podemos multiplicar numerador e denominador por
para facilitar a simplificação:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, representada por
. Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 8
Derivamos
em relação a
:
Passo 9
Substituindo
na equação da derivada parcial:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
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