Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente precisa encontrar as derivadas de primeira ordem da função . Pra isso, vamos usar as regras de derivação para funções de várias variáveis, especificamente as derivadas parciais em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , que é representada por . Para derivar essa função, vamos aplicar a regra da cadeia. A função interna aqui é .

Passo 3

A derivada da função logarítmica em relação a é . Então, aplicando a regra da cadeia, temos:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 5

Substituindo na equação da derivada parcial:

Passo 6

Agora, vamos simplificar essa expressão. Podemos multiplicar numerador e denominador por para facilitar a simplificação:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , representada por . Novamente, aplicamos a regra da cadeia:

Passo 8

Derivamos em relação a :

Passo 9

Substituindo na equação da derivada parcial:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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